北海道大学 1989年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

点 $A$ は数直線上を次の規則にしたがって移動する．硬貨を投げ，表が出たら正の方向に $a$ だけ進み，裏が出たら負の方向に $b$ だけ進む $(a > 0, b > 0)$ ．ただし，この硬貨を投げたとき，表の出る確率を $p$ $(0 < p < 1)$ とする．いま，点 $A$ は原点から出発し， $n$ 回硬貨を投げたときの点 $A$ の座標を $X_{n}$ とする．このとき，次の問に答えよ．

(1) $X_{n}$ の確率分布を求めよ．

(2) $a = 2$ ， $b = 1$ のとき， $X_{3}$ が区間 $- 4 ≦ x ≦ 0$ に存在する確率が区間 $1 ≦ x ≦ 5$ に存在する確率より大きくなる $p$ の範囲を求めよ．

出典：北海道大学 1989年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

表が出た回数を $k$ とすれば、位置は $k$ の一次式、確率は二項分布で表せる。後半は $a = 2, b = 1, n = 3$ を代入して $X_{3} = 3 k - 3$ とし、2つの区間に入る $k$ を列挙して確率を比較する。端点を含む区間なので $X_{3} = 0$ を左側に含める点に注意する。

解答

【(1)】 $n$ 回のうち表が $k$ 回出たとする。このとき裏は $n - k$ 回であり、点 $A$ は正の方向へ合計 $k a$ 、負の方向へ合計 $(n - k) b$ だけ進む。したがって $X_{n} = k a - (n - k) b = k (a + b) - nb$ である。

表が $k$ 回出る確率は $_{n} C_{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}$ である。 $a + b > 0$ なので、 $k = 0, 1, \dots, n$ に対して $k (a + b) - nb$ は互いに異なる。よって確率分布は

P (X_{n} = k (a + b) - nb) =_{n} C_{k} p^{k} (1 - p)^{n - k} (k = 0, 1, \dots, n)

である。

【(2)】 $a = 2$ , $b = 1$ , $n = 3$ のとき $X_{3} = 2 k - (3 - k) = 3 k - 3$ である。各 $k$ に対する値は

k X_{3} 0 - 3 102336

である。区間 $- 4 ≦ x ≦ 0$ に入るのは $k = 0, 1$ のときであり、その確率は $(1 - p)^{3} + 3 p (1 - p)^{2}$ である。区間 $1 ≦ x ≦ 5$ に入るのは $k = 2$ のときであり、その確率は $3 p^{2} (1 - p)$ である。したがって求める条件は $(1 - p)^{3} + 3 p (1 - p)^{2} > 3 p^{2} (1 - p)$ である。 $0 < p < 1$ より $1 - p > 0$ なので、両辺を $1 - p$ で割って $(1 - p)^{2} + 3 p (1 - p) > 3 p^{2}$ を得る。整理すると $1 + p - 5 p^{2} > 0$ すなわち $5 p^{2} - p - 1 < 0$ である。この2次式の根は $p = \frac{1 \pm 21}{10}$ であり、 $0 < p < 1$ と合わせると $0 < p < \frac{1 + 21}{10}$ である。

別解。 $K$ を3回中の表の回数とすると $X_{3} = 3 K - 3$ である。左の区間は $- 4 ≦ 3 K - 3 ≦ 0$ 、すなわち $K = 0, 1$ に対応し、右の区間は $1 ≦ 3 K - 3 ≦ 5$ 、すなわち $K = 2$ に対応する。よって比較すべき確率は同じく $P (K ≦ 1)$ と $P (K = 2)$ であり、上の不等式に帰着する。

北海道大学 1989年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

北海道大学 1989年度
理系数学前期第5問