問題
原点を通る直線が球面と接する点の軌跡をとする．の平面への正射影，および平面への正射影を求め，それらを図示せよ．ただし，空間内の平面に対して，の各点を通りに垂直な直線がと交わる点の集合をのへの正射影という．
出典：北海道大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
接点 では半径 と接線 が垂直である。球の中心 と半径 を用い、垂直条件と球面条件から の満たす平面と球面を求める。そこから 平面への正射影は を消去して楕円、 平面への正射影は存在条件 を付けた線分として表す。
解答
球面 の中心を とすると であり、半径は である。接点を とする。原点を通る直線が で球面に接するので、接線 と半径 は垂直である。したがって すなわち である。よって が成り立つ。一方、 は球面上の点であるから これを展開すると ここで であり、 を用いると を得る。したがって接点の軌跡 は で表される円である。
別解。三角形 は で直角であり、, だから、三平方の定理により である。よって は原点中心、半径 の球面上にある。さらに直角条件から同じく が得られ、上と同じ円に到達する。
【 平面への正射影】 平面への正射影では 座標を消す。平面条件から であり、これを に代入すると 整理して を得る。したがって は、 平面上の楕円 である。中心は 、 方向の半径は 、 方向の半径は である。
【 平面への正射影】 平面への正射影では 座標を消す。平面条件から必ず である。ただし、実際に 上の点が存在するには が必要である。 を代入すると すなわち である。よって となる。したがって は 平面上の線分 であり、端点は と である。