北海道大学 1989年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

$f (x)$ は $x ≧ a$ で定義された連続な増加関数で， $x > a$ のとき $f (x) > 0$ とする．この $f (x)$ に対して，

g (x) = \frac{1}{x - a} \int_{a}^{x} f (t) d t (x > a)

とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1) すべての $x$ $(x > a)$ に対して，

(x - a) g^{'} (x) = f (x) - g (x)

が成り立つことを証明せよ．

(2) $g (x)$ は $x > a$ で増加関数であることを証明せよ．

(3) すべての $x$ $(x > a)$ に対して， $2 f (x) = 3 g (x)$ を満たす関数 $f (x)$ を求めよ．

出典：北海道大学 1989年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

(1)は $(x - a) g (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ として両辺を微分する。(2)は増加性から平均値 $g (x)$ が右端の値 $f (x)$ を超えないことを示し、(1)に代入して $g^{'} (x) ≧ 0$ を得る。(3)は $2 f = 3 g$ を(1)に代入し、 $f$ だけの式にして積分し、連続性で $x = a$ の値も決める。

解答

【(1)】定義より、 $x > a$ で $(x - a) g (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ である。両辺を $x$ で微分すると、左辺は積の微分により $g (x) + (x - a) g^{'} (x)$ となり、右辺は $f (x)$ となる。したがって $g (x) + (x - a) g^{'} (x) = f (x)$ であり、整理して $(x - a) g^{'} (x) = f (x) - g (x)$ を得る。

【(2)】 $f$ は増加関数であるから、 $a ≦ t ≦ x$ では $f (t) ≦ f (x)$ である。よって $\int_{a}^{x} f (t) d t ≦ \int_{a}^{x} f (x) d t = (x - a) f (x)$ となる。 $x - a > 0$ で割ると $g (x) ≦ f (x)$ である。(1)より $(x - a) g^{'} (x) = f (x) - g (x) ≧ 0$ であり、 $x - a > 0$ だから $g^{'} (x) ≧ 0$ である。したがって $g (x)$ は $x > a$ で増加関数である。

【(3)】すべての $x > a$ で $2 f (x) = 3 g (x)$ が成り立つとする。このとき $g (x) = \frac{2}{3} f (x)$ である。これを(1)に代入すると $(x - a) (\frac{2}{3} f^{'} (x)) = f (x) - \frac{2}{3} f (x) = \frac{1}{3} f (x)$ であるから $2 (x - a) f^{'} (x) = f (x)$ となる。 $x > a$ では $f (x) > 0$ なので、両辺を $2 (x - a) f (x)$ で割って $\frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} = \frac{1}{2 ( x - a )}$ を得る。両辺を積分すると $lo g f (x) = \frac{1}{2} lo g (x - a) + lo g C$ となる。ただし $C$ は正の定数である。したがって $f (x) = C x - a (x > a)$ である。 $f$ は $x = a$ でも連続であるから $f (a) = lim_{x \to a +} C x - a = 0$ でなければならない。逆に、 $C > 0$ として $f (a) = 0, f (x) = C x - a (x > a)$ と定めると、 $f$ は連続な増加関数で、 $x > a$ で正である。また

g (x) = \frac{1}{x - a} \int_{a}^{x} C t - a d t = \frac{1}{x - a} \cdot \frac{2}{3} C (x - a)^{3/2} = \frac{2}{3} C x - a

となり、確かに $2 f (x) = 3 g (x)$ を満たす。

よって求める関数は、正の定数 $C$ を用いて $f (a) = 0, f (x) = C x - a (x > a)$ と表される。

北海道大学 1989年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

北海道大学 1989年度
理系数学前期第4問