北海道大学 1989年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

次の関数 $f (θ)$ について，以下の問に答えよ．

f (θ) = - \frac{1}{2} + \frac{sin \frac{5}{2} θ}{2 sin \frac{θ}{2}} (0 < θ < π)

(1) $f (θ)$ を $cos θ$ の多項式で表せ．

(2) 曲線 $y = a cos θ + a$ が曲線 $y = f (θ)$ と少なくとも1点で交わるような実数 $a$ の範囲を求めよ．

出典：北海道大学 1989年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

半角 $u = θ /2$ を導入し、 $sin 5 u$ を $sin u$ と $cos u$ で表してから $cos^{2} u = (1 + cos θ) /2$ に戻す。交点条件は $v = cos θ$ とおくと $- 1 < v < 1$ の範囲で、両曲線の式を等しくするだけでよい。 $v + 1$ は正なので割って、 $a$ の値域を読む。

解答

【(1)】 $u = \frac{θ}{2}$ とおく。 $0 < θ < π$ より $0 < u < \frac{π}{2}$ であり、特に $sin u \neq = 0$ である。三角関数の公式より $sin 5 u = 16 sin u cos^{4} u - 12 sin u cos^{2} u + sin u$ だから、 $\frac{s i n 5 u}{s i n u} = 16 cos^{4} u - 12 cos^{2} u + 1$ である。したがって

f (θ) = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (16 cos^{4} u - 12 cos^{2} u + 1) = 8 cos^{4} u - 6 cos^{2} u .

ここで $cos^{2} u = \frac{1 + c o s θ}{2}$ を代入すると

f (θ) = 8 (\frac{1 + cos θ}{2})^{2} - 6 (\frac{1 + cos θ}{2}) = 2 cos^{2} θ + cos θ - 1.

【(2)】 $v = cos θ$ とおくと、 $0 < θ < π$ より $- 1 < v < 1$ である。交点がある条件は、ある $v$ がこの範囲に存在して $a v + a = 2 v^{2} + v - 1$ を満たすことである。すなわち $a (v + 1) = 2 v^{2} + v - 1 = (v + 1) (2 v - 1)$ である。ここで $v > - 1$ だから $v + 1 > 0$ であり、割って $a = 2 v - 1$ を得る。 $v$ が $(- 1, 1)$ を動くとき、 $2 v - 1$ は $- 3 < a < 1$ を動く。よって求める範囲は $- 3 < a < 1$ である。

北海道大学 1989年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

北海道大学 1989年度
理系数学前期第2問