一橋大学 2026年度文系数学第5問解答・解説

問題

4本のひもがある。8つある端から2つずつ無作為に選び4つの組に分け，同じ組に属する端どうしを結ぶ。こうしてできる輪の数を $N$ とする。ただし，輪とは1つあるいは複数のひもが結ばれて，ひとつながりになったものをいう。たとえば右図のとき，1つのひもからなる輪が2つと，2つのひもからなる輪が1つできている。この図では2つの輪がからまっているが， $N = 3$ と数える。% 図は省略

(1) $N = 4$ となる確率を求めよ。

(2) $N = 1$ となる確率を求めよ。

(3) $N$ の期待値を求めよ。

出典：一橋大学 2026年度前期文系第5問

方針

8個の端の完全な組分けは $7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 105$ 通りである。 $N = 4$ は全てのひもが自分自身で結ばれる場合， $N = 1$ は4本すべてが1つの輪になる場合として数える。期待値は $N = 3$ も数えて分布を完成させてから計算する。

解答

4本のひもを区別し，各ひもの2つの端も区別して考える。8個の端を2個ずつ4組に分ける総数は

7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 105

通りである。

(1)

$N = 4$ となるのは，4本すべてのひもについて，同じひもの両端どうしを結ぶ場合だけである。したがって確率は

\frac{1}{105}

である。

(2)

1つの端を固定し，そこから1つの大きな輪をたどる。固定した端と結ぶ相手は，他の3本のひもの6個の端のいずれかである。次に，そのひもの反対側の端と結ぶ相手は，まだ使っていない2本のひもの4個の端のいずれかである。さらに次は残り1本のひもの2個の端のいずれかで，最後は固定したひもの残りの端に結ばれる。よって $N = 1$ となる組分けは

6 \cdot 4 \cdot 2 = 48

通りである。したがって確率は

\frac{48}{105} = \frac{16}{35}

である。

(3)

$N = 3$ となるのは，1本だけでできる輪が2つ，残り2本でできる輪が1つの場合である。1本だけでできる輪にする2本の選び方は $_{4} C_{2} = 6$ 通り，残り2本の端を互い違いに結ぶ方法は2通りであるから， $N = 3$ は12通りである。

したがって $N = 2$ となる場合は

105 - 1 - 48 - 12 = 44

通りである。よって期待値は

E (N) = \frac{1 \cdot 48 + 2 \cdot 44 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 1}{105} = \frac{176}{105}

である。

一橋大学 2026年度文系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

一橋大学 2026年度
文系数学第5問