一橋大学 2026年度
文系数学 第1問

解答

$u=2x-7$ とおく。すると $u$ は奇数で，$x=(u+7)/2$ であり，

である。

まず $u^2\geqq 45$ の場合を考える。このとき $u^2-(2y{)}^2=45$ であるから，

となる。$y>0$ より $u+2y>u-2y$ である。正負を含めて積が $45$ となる奇数の組を調べると，

である。これらから順に

を得る。

次に $u^2<45$ の場合を考える。このとき $(2y{)}^2=45-u^2$ である。$u$ は奇数で $|u|<\sqrt{45}$ だから，$u=\pm 1,\pm 3,\pm 5$ を調べればよい。$45-u^2$ が正の偶数の平方となるのは $u=\pm 3$ のときだけで，このとき $2y=6$ である。したがって $(x,y)=(2,3),(5,3)$ を得る。

以上より，求める整数の組は

である。