一橋大学 2026年度文系数学第2問解答・解説

問題

数列 $a_{n}$ を $a_{1} = 2, a_{2} = 5$ および $a_{n + 2} = a_{n + 1} a_{n}^{2}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ で定める。 $a_{n} ≧ 1 0^{2026}$ となる最小の $n$ を求めよ。

出典：一橋大学 2026年度前期文系第2問

方針

正の数列なので常用対数をとり， $b_{n} = lo g_{10} a_{n}$ とおく。すると $b_{n + 2} = b_{n + 1} + 2 b_{n}$ となる。 $b_{n + 1} + b_{n}$ と $b_{n + 1} - 2 b_{n}$ を作ると，それぞれ等比的に処理できる。最後は $n = 14, 15$ の境目だけを評価する。

解答

すべての $n$ で $a_{n} > 0$ である。 $b_{n} = lo g_{10} a_{n}$ とおくと，

b_{n + 2} = b_{n + 1} + 2 b_{n}

であり， $b_{1} = \frac{1}{2} lo g_{10} 2$ ， $b_{2} = \frac{1}{2} lo g_{10} 5$ である。

漸化式から

b_{n + 2} + b_{n + 1} = 2 (b_{n + 1} + b_{n})

なので，

b_{n + 1} + b_{n} = (b_{2} + b_{1}) 2^{n - 1} = 2^{n - 2}

である。また

b_{n + 2} - 2 b_{n + 1} = - (b_{n + 1} - 2 b_{n})

より，

b_{n + 1} - 2 b_{n} = \frac{1}{2} lo g_{10} \frac{5}{4} (- 1)^{n - 1}

である。したがって

3 b_{n} = 2^{n - 2} - \frac{1}{2} lo g_{10} \frac{5}{4} (- 1)^{n - 1}

を得る。

$b_{2} > b_{1} > 0$ であり， $b_{n + 2} - b_{n + 1} = 2 b_{n} > 0$ だから， $b_{n}$ は単調増加である。また $0 < \frac{1}{2} lo g_{10} \frac{5}{4} < 1$ である。よって

3 b_{14} = 2^{12} + \frac{1}{2} lo g_{10} \frac{5}{4} < 4097 < 6078

であり， $a_{14} ≧ 1 0^{2026}$ は成り立たない。一方，

3 b_{15} = 2^{13} - \frac{1}{2} lo g_{10} \frac{5}{4} > 8191 > 6078

であるから， $b_{15} > 2026$ であり $a_{15} > 1 0^{2026}$ である。

したがって，求める最小の $n$ は $15$ である。

一橋大学 2026年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

一橋大学 2026年度
文系数学第2問