問題
座標空間内に4点 ，，， をとる。 を辺にもつ立方体を とし，3点 ，， を通る平面を とする。 による の切り口を底面とし， を頂点とする錐体の体積を求めよ。
出典：一橋大学 2026年度 前期 文系 第4問
方針
まず平面 の方程式を求める。座標軸との交点でできる三角形から，立方体の外にはみ出る3つの相似な小三角形を除いて切り口の面積を出す。最後に原点から平面までの距離を高さとして錐体の体積を計算する。
解答
平面 の法線ベクトルを とおく。， であるから，
を満たす。よって法線ベクトルとして をとれる。点 を通るので，平面 は
である。
この平面と 軸との交点をそれぞれ とすると，
である。， より，三角形 の面積 は
である。
三角形 から，立方体の外に出る部分を除く。 側で除かれる三角形は相似比 ， 側で除かれる三角形は相似比 ， 側で除かれる三角形は相似比 である。したがって切り口の面積 は
である。
原点から平面 までの距離は
である。よって求める体積は
である。