一橋大学 2026年度文系数学第3問解答・解説

問題

3次関数 $f (x)$ および実数 $α, β$ は以下の3つの条件を満たす。

(i) $f (x)$ の3次の項の係数は $1$ である。

(ii) $f (x)$ は $x = α$ と $x = β$ において極値をとる。

(iii) $- 2 ≦ α ≦ - 1$ かつ $1 ≦ β ≦ 2$ 。

このとき， $x y$ 平面上の2点 $(α, f (α))$ ， $(β, f (β))$ を通る直線の傾き $k$ のとり得る値の範囲を求めよ。

出典：一橋大学 2026年度前期文系第3問

3次の係数が1で， $α, β$ で極値をとるので $f^{'} (x) = 3 (x - α) (x - β)$ とおける。積分して $f (x)$ を表し， $(f (β) - f (α)) / (β - α)$ を計算すると $β - α$ だけの式になる。

$f (x)$ の3次の項の係数が $1$ であるから， $f^{'} (x)$ の2次の項の係数は $3$ である。 $x = α, β$ で極値をとるので，

f^{'} (x) = 3 (x - α) (x - β)

である。したがって，定数を $C$ として

f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} (α + β) x^{2} + 3 α β x + C

と表せる。

2点を通る直線の傾きは

k = \frac{f ( β ) - f ( α )}{β - α} = β^{2} + α β + α^{2} - \frac{3}{2} (α + β)^{2} + 3 α β = - \frac{1}{2} (β - α)^{2}

である。

条件 $- 2 ≦ α ≦ - 1$ ， $1 ≦ β ≦ 2$ より， $2 ≦ β - α ≦ 4$ である。また，この範囲の任意の値は適当な $α, β$ で実現できる。よって

4 ≦ (β - α)^{2} ≦ 16

であり，求める $k$ の範囲は

- 8 ≦ k ≦ - 2

である。