一橋大学 2025年度文系数学第5問解答・解説

問題

5点 $A, B, C, D, E$ が右図のように線分でむすばれている。% 図は省略。線分は $A B, B C, B D, C E, D E$ である。点 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, \dots$ を次のように定めていく。 $P_{1}$ を $A$ とする。正の整数 $n$ に対して， $P_{n}$ を端点とする線分をひとつ無作為にえらび，その線分の $P_{n}$ とは異なる端点を $P_{n + 1}$ とする。

(1) $P_{n}$ が $A$ または $B$ である確率 $p_{n}$ を求めよ。

(2) $P_{n}$ が $A$ または $B$ であるとき， $k = 1, 2, \dots, n$ のいずれに対しても $P_{k} = E$ とはならない条件付き確率 $q_{n}$ を求めよ。

出典：一橋大学 2025年度前期文系第5問

方針

グラフは2部的で，奇数番目には $A, C, D$ ，偶数番目には $B, E$ にいる。したがって2歩ごとの遷移で考える。(1)では奇数時刻の $A$ の確率，偶数時刻の $B$ の確率をそれぞれ一次漸化式で求める。(2)では $E$ に到達しない条件を付けた同様の2歩遷移を数え，(1)の確率で割る。

解答

(1)

グラフは $A, C, D$ と $B, E$ の間だけに線分があるので，奇数番目では $A, C, D$ ，偶数番目では $B, E$ にいる。

まず $r_{m} = P (P_{2 m - 1} = A)$ とおく。奇数番目に $A$ にいると，2歩後に $A$ にいる確率は $1/3$ である。奇数番目に $C$ または $D$ にいると，2歩後に $A$ にいる確率は $(1/2) (1/3) = 1/6$ である。したがって

r_{m + 1} = \frac{1}{3} r_{m} + \frac{1}{6} (1 - r_{m}) = \frac{1}{6} r_{m} + \frac{1}{6}

であり， $r_{1} = 1$ である。これを解くと

r_{m} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} (\frac{1}{6})^{m - 1}

である。よって

p_{2 m - 1} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} (\frac{1}{6})^{m - 1} (m = 1, 2, 3, \dots)

である。

次に $s_{m} = P (P_{2 m} = B)$ とおく。偶数番目に $B$ にいると，2歩後に $B$ にいる確率は $2/3$ である。偶数番目に $E$ にいると，2歩後に $B$ にいる確率は $1/2$ である。したがって

s_{m + 1} = \frac{2}{3} s_{m} + \frac{1}{2} (1 - s_{m}) = \frac{1}{6} s_{m} + \frac{1}{2}

であり， $s_{1} = 1$ である。これを解くと

s_{m} = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} (\frac{1}{6})^{m - 1}

である。よって

p_{2 m} = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} (\frac{1}{6})^{m - 1} (m = 1, 2, 3, \dots)

である。

(2)

$E$ を一度も通らず，かつ最後に $A$ または $B$ にいる確率を求める。奇数番目について， $u_{m} = P (P_{1}, \dots, P_{2 m - 1} \neq = E, P_{2 m - 1} = A)$ ， $w_{m} = P (P_{1}, \dots, P_{2 m - 1} \neq = E, P_{2 m - 1} = C または D)$ とおく。 $u_{1} = 1, w_{1} = 0$ であり，

u_{m + 1} = \frac{1}{3} u_{m} + \frac{1}{6} w_{m}, w_{m + 1} = \frac{2}{3} u_{m} + \frac{1}{3} w_{m}

である。これより $m ≧ 2$ では $w_{m} = 2 u_{m}$ となり，

u_{m} = \frac{2 ^{m - 2}}{3 ^{m - 1}} (m ≧ 2)

である。また $u_{1} = 1$ である。

偶数番目で， $E$ を通らず最後に $B$ にいる確率は $u_{m} + w_{m} /2$ であるから，

u_{m} + \frac{1}{2} w_{m} = (\frac{2}{3})^{m - 1} (m = 1, 2, 3, \dots)

である。

したがって条件付き確率は，まず $q_{1} = 1$ であり， $m ≧ 2$ について

q_{2 m - 1} = \frac{2 ^{m - 2} / 3 ^{m - 1}}{\frac{1}{5} + \frac{4}{5} ( \frac{1}{6} ) ^{m - 1}} = \frac{5 \cdot 2 ^{2 m - 3}}{6 ^{m - 1} + 4}

である。また $m ≧ 1$ について

q_{2 m} = \frac{( 2/3 ) ^{m - 1}}{\frac{3}{5} + \frac{2}{5} ( \frac{1}{6} ) ^{m - 1}} = \frac{5 \cdot 2 ^{2 m - 2}}{3 \cdot 6 ^{m - 1} + 2}

である。

一橋大学 2025年度文系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

一橋大学 2025年度
文系数学第5問