一橋大学 2025年度文系数学第4問解答・解説

問題

原点を $O$ とする座標空間内の2点 $A (0, 3, - 5)$ ， $B (5, - 2, 10)$ に対して

O P = s {(1 - t) O A + t O B}, s ≧ 0, \frac{1}{5} ≦ t ≦ \frac{3}{5}

で定まる点 $P$ が存在する範囲を $D$ とする。 $D$ に含まれる半径 $102$ の円のうち，その中心と原点との距離が最小となるものを $C$ とする。円 $C$ の中心の座標を求めよ。

出典：一橋大学 2025年度前期文系第4問

$t = 1/5, 3/5$ に対応する2本の境界方向ベクトルを求めると， $D$ はその2本の半直線で挟まれた平面内の角領域になる。中心を $a u + b v$ と表し，2本の境界直線からの距離が半径以上になる条件を $a, b$ の下限として書く。原点からの距離を最小にする点を求める。

$t = 1/5$ のときの方向ベクトルを

u = \frac{4}{5} O A + \frac{1}{5} O B = (1, 2, - 2)

とし， $t = 3/5$ のときの方向ベクトルを

v = \frac{2}{5} O A + \frac{3}{5} O B = (3, 0, 4)

とする。すると $D$ は

a u + b v (a ≧ 0, b ≧ 0)

で表される角領域である。

$∣ u ∣ = 3$ ， $∣ v ∣ = 5$ ， $u \cdot v = - 5$ である。2本の境界直線のなす角を $θ$ とすると，

sin θ = 1 - (- \frac{1}{3})^{2} = \frac{2 2}{3}

である。

円の中心を $X = a u + b v$ とする。境界直線 $O u$ からの距離は， $b v$ の $O u$ に垂直な成分の長さだから

b ∣ v ∣ sin θ = b \cdot 5 \cdot \frac{2 2}{3} = \frac{10 2}{3} b

である。これが半径 $102$ 以上であるためには $b ≧ 3$ が必要である。同様に，境界直線 $O v$ からの距離は

a ∣ u ∣ sin θ = a \cdot 3 \cdot \frac{2 2}{3} = 22 a

であるから， $a ≧ 5$ が必要である。

したがって中心は $a ≧ 5, b ≧ 3$ の範囲で $∣ a u + b v ∣$ を最小にすればよい。 $A = a - 5 ≧ 0$ ， $B = b - 3 ≧ 0$ とおくと，

∣ a u + b v ∣^{2} = 9 a^{2} + 25 b^{2} - 10 ab = 300 + 60 A + 100 B + 9 A^{2} + 25 B^{2} - 10 A B

である。ここで $9 A^{2} + 25 B^{2} - 10 A B ≧ 0$ なので，最小は $A = B = 0$ ，すなわち $a = 5, b = 3$ のときである。

よって中心は

5 u + 3 v = 5 (1, 2, - 2) + 3 (3, 0, 4) = (14, 10, 2)

である。