一橋大学 2025年度文系数学第2問解答・解説

問題

座標平面上に原点を中心とする半径 $3$ の円 $C_{1}$ がある。また，直線 $x = 2$ 上の点 $P$ を中心とする半径 $1$ の円を $C_{2}$ とする。

(1) $C_{1}$ と $C_{2}$ が共有点を2つ持つような $P$ の $y$ 座標の範囲を求めよ。

(2) $C_{1}$ と $C_{2}$ が共有点を2つ持つとき，その2つの共有点を通る直線を $l$ とする。 $l$ に関して $P$ と対称な位置にある点を $Q$ とする。ただし， $P$ が $l$ 上にあるときは $Q = P$ とする。 $P$ の $y$ 座標が(1)で求めた範囲を動くとき，点 $Q$ の軌跡を求め，図示せよ。

出典：一橋大学 2025年度前期文系第2問

方針

$P = (2, t)$ とおく。(1)は2円の中心間距離が半径の差より大きく和より小さい条件で処理する。(2)は2円の方程式を引いて共通弦の直線を出し，点の直線に関する対称移動の式から $Q$ の座標を $t$ で表して消去する。

解答

(1)

$P = (2, t)$ とおく。2円が共有点を2つ持つための条件は，中心間距離 $O P$ が半径の差 $2$ より大きく，半径の和 $4$ より小さいことである。したがって

2 < 4 + t^{2} < 4

であり，

0 < t^{2} < 12

となる。よって求める範囲は

- 23 < t < 0, 0 < t < 23

である。

(2)

$C_{1} : x^{2} + y^{2} = 9$ ， $C_{2} : (x - 2)^{2} + (y - t)^{2} = 1$ である。2式を引くと，共通弦 $l$ は

4 x + 2 t y = t^{2} + 12

である。

点 $P = (2, t)$ をこの直線に関して対称移動した点を $Q = (X, Y)$ とする。直線 $4 x + 2 t y - (t^{2} + 12) = 0$ に対する対称移動を用いると，

X = \frac{16}{t ^{2} + 4}, Y = \frac{8 t}{t ^{2} + 4}

となる。これより

X^{2} + Y^{2} = \frac{256 + 64 t ^{2}}{( t ^{2} + 4 ) ^{2}} = \frac{64}{t ^{2} + 4} = 4 X

である。したがって

(X - 2)^{2} + Y^{2} = 4

を満たす。

また $0 < t^{2} < 12$ より $1 < X < 4$ である。逆に，円 $(X - 2)^{2} + Y^{2} = 4$ 上で $1 < X < 4$ を満たす点は， $t = 2 Y / X$ により上の範囲の $t$ から得られる。よって軌跡は，円 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ のうち $1 < x < 4$ を満たす部分である。端点 $(4, 0)$ ， $(1, 3)$ ， $(1, - 3)$ は含まない。

一橋大学 2025年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

一橋大学 2025年度
文系数学第2問