問題
正の整数 に対し， の正の約数の個数を とする。たとえば， の正の約数は の4個なので， である。また，
とする。
(1) を求めよ。
(2) 素数 と正の整数 の組で を満たすものを求めよ。
(3) の最大値と，そのときの を求めよ。
出典：一橋大学 2025年度 前期 文系 第1問
方針
約数個数公式を用いる。 は素因数ごとの因子 の積に分解できるので，各素数についてどの指数が有利かを比較する。(2)で得た増減条件を使うと，最大に寄与するのは と だけだと分かる。
解答
(1)
であるから， である。また なので，
である。
(2)
より，条件は
である。これは
と同値である。右辺は で最大でも だから，素数 は に限られる。 とすると
であり，両辺を2乗して整理すると となる。正の整数 より である。したがって求める組は である。
(3)
と素因数分解すると，
である。素数 の指数を1増やしたときに が増える条件は，(2)と同じく で現在の指数が の場合だけである。
したがって， については指数 が最も有利で，その因子は である。 については指数 の因子が で，指数を にすると因子は になり小さくなる。 以外の素数では，指数 でも であり，入れない方が大きい。
よって最大は のときで，
である。