問題
等式
が成り立つ実数 がちょうど4つ存在するような実数 の範囲を求めよ。
出典：一橋大学 2025年度 前期 文系 第3問
方針
左辺を ，， に分けて計算し， を の関数として表す。各区間での増減と端点値を調べ，水平線 との交点数が合計4個になる範囲を数える。
解答
与式を
と見て，右辺を とおく。
では だから
である。この区間では最大値41をとり， に近づくと値は16に近づく。
では で絶対値が切り替わるので，
である。したがって
であり，
である。よって で減少， で増加し，
である。
では だから
である。この区間では最大値33をとり， に近づくと値は24に近づく。
以上から交点数を数える。 では，左区間で1個，中区間で2個，右区間で1個，合計4個である。 でも，端点の重複を含めて合計4個である。 では，左区間で2個，中区間で0個，右区間で2個，合計4個である。一方， と では合計3個になる。
したがって求める範囲は
である。