一橋大学 2024年度文系数学第5問解答・解説

問題

$n$ を $3$ 以上の奇数とする．円に内接する正 $n$ 角形の頂点から無作為に相異なる $3$ 点を選んだとき，その $3$ 点を頂点とする三角形の内部に円の中心が含まれる確率 $p_{n}$ を求めよ．

出典：一橋大学 2024年度前期文系第5問

方針

$n = 2 r + 1$ とおき，中心を含まない三角形を余事象として数える。奇数角形では対頂点がないので，中心を含まないことは3点がある開半円に入ることと同値である。大きい空白弧の直後の頂点を始点として一意に数え，総数から引く。

解答

$n = 2 r + 1$ とおく。ただし $r$ は正の整数である。選び方の総数は $_{n} C_{3}$ 通りである。

3点を円周上の順に見たとき，隣り合う選択点の間にある弧の長さを頂点間隔で数える。三角形の内部に中心が含まれないのは，3点がある開半円の中に入るときである。 $n$ は奇数なので対頂点はなく，これは3つの間隔のうち一つが $r + 1$ 以上であることと同値である。このような大きい間隔は一つに限られる。

したがって，中心を含まない選び方は次のように一意に数えられる。大きい間隔の直後の選択点を始点として選ぶと，残り2点はそこから時計回りに次の $r$ 個の頂点の中から選べばよい。よって中心を含まない選び方は

n_{r} C_{2}

通りである。

したがって中心を含む選び方は

_{n} C_{3} - n_{r} C_{2} = \frac{( 2 r + 1 ) 2 r ( 2 r - 1 )}{6} - (2 r + 1) \frac{r ( r - 1 )}{2} = \frac{( 2 r + 1 ) r ( r + 1 )}{6}

通りである。ゆえに

p_{n} = \frac{\frac{( 2 r + 1 ) r ( r + 1 )}{6}}{\frac{( 2 r + 1 ) 2 r ( 2 r - 1 )}{6}} = \frac{r + 1}{2 ( 2 r - 1 )} .

$r = (n - 1) /2$ を代入して

p_{n} = \frac{n + 1}{4 ( n - 2 )}

である。

一橋大学 2024年度文系数学 第5問

問題

方針

解答

一橋大学 2024年度
文系数学第5問