一橋大学 2024年度文系数学第1問解答・解説

問題

$\sum_{k = 1}^{m} k (n - 2 k) = 2024$ を満たす正の整数の組 $(m, n)$ を求めよ．

出典：一橋大学 2024年度前期文系第1問

方針

有限和の公式で左辺を因数分解し， $m (m + 1) (3 n - 4 m - 2) = 12144$ に直す。右辺が正なので $3 n - 4 m - 2 > 0$ であり， $m (m + 1)$ が $12144$ の約数になる。候補を表で絞り，最後に $n$ が正の整数になる条件を確認する。

解答

和の公式より

k = 1 \sum m k (n - 2 k) = n \frac{m ( m + 1 )}{2} - 2 \frac{m ( m + 1 ) ( 2 m + 1 )}{6} = \frac{m ( m + 1 )}{6} (3 n - 4 m - 2)

である。したがって

m (m + 1) (3 n - 4 m - 2) = 12144

を得る。右辺が正で $m (m + 1) > 0$ だから， $3 n - 4 m - 2$ は正の整数である。

$12144 = 2^{4} \cdot 3 \cdot 11 \cdot 23$ であり， $m (m + 1)$ は $12144$ の正の約数でなければならない。 $m (m + 1) ≦ 12144$ の範囲で調べると， $m (m + 1)$ が $12144$ を割り切る $m$ は

1, 2, 3, 11, 22, 23

である。それぞれ $L = 12144/ (m (m + 1))$ とおくと $3 n = L + 4 m + 2$ であるから，次の表を得る。

m 123112223 L 607220241012922422 n 20266783424638 116/3

最後の $m = 23$ では $n$ が整数でないので除く。よって求める組は

(m, n) = (1, 2026), (2, 678), (3, 342), (11, 46), (22, 38)

である。

一橋大学 2024年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

一橋大学 2024年度
文系数学第1問