一橋大学 2024年度文系数学第4問解答・解説

問題

実数 $a ，$ $b$ は $- 1 < a < 1 ，$ $- 1 < b < 1$ を満たす．座標空間内に $4$ 点 $A$ $(a, - 1, - 1) ，$ $B$ $(- 1, b, - 1) ，$ $C$ $(- a, 1, 1) ，$ $D$ $(1, - b, 1)$ をとる．(1)　 $A ，$ $B ，$ $C ，$ $D$ がひし形の頂点となるとき， $a$ と $b$ の関係を表す等式を求めよ．(2)　 $a ，$ $b$ が(1)の等式を満たすとき， $A ，$ $B ，$ $C ，$ $D$ を頂点とする四角形の面積の最小値を求めよ．

出典：一橋大学 2024年度前期文系第4問

方針

点 $A, C$ と $B, D$ はそれぞれ原点に関して対称なので，四角形 $A B C D$ は原点を対角線の交点とする平行四辺形である。平行四辺形がひし形になる条件を対角線の直交条件で表し， $a + b = 1$ を得る。面積は対角線または $O A, O B$ から表し， $ab$ の範囲で最小化する。

解答

(1)

点 $A$ と $C$ ，点 $B$ と $D$ はそれぞれ原点に関して対称である。したがって四角形 $A B C D$ は，原点を対角線の交点とする平行四辺形である。

対角線の方向ベクトルは

A C = (- 2 a, 2, 2), B D = (2, - 2 b, 2)

である。平行四辺形がひし形であることは，その対角線が直交することと同値であるから

A C \cdot B D = 0

が必要十分条件である。内積を計算すると

(- 2 a) \cdot 2 + 2 (- 2 b) + 2 \cdot 2 = 4 (1 - a - b)

である。よって求める関係式は

a + b = 1

である。

(2)

(1)より $b = 1 - a$ である。さらに $- 1 < a < 1$ ， $- 1 < b < 1$ から $0 < a < 1$ となるので， $0 < ab ≦ 1/4$ である。

ひし形の面積を $S$ とする。対角線が直交し， $∣ A C ∣ = 2∣ O A ∣$ ， $∣ B D ∣ = 2∣ O B ∣$ であるから

S = \frac{1}{2} ∣ A C ∣∣ B D ∣ = 2∣ O A ∣∣ O B ∣.

ここで $∣ O A ∣^{2} = a^{2} + 2$ ， $∣ O B ∣^{2} = b^{2} + 2$ より

S = 2 (a^{2} + 2) (b^{2} + 2) .

$a + b = 1$ を用いると

(a^{2} + 2) (b^{2} + 2) = a^{2} b^{2} + 2 (a^{2} + b^{2}) + 4 = (ab)^{2} - 4 ab + 6 = (ab - 2)^{2} + 2.

$0 < ab ≦ 1/4$ であり， $(ab - 2)^{2} + 2$ はこの範囲で $ab$ が大きいほど小さい。したがって最大値 $ab = 1/4$ ，すなわち $a = b = 1/2$ のとき面積が最小となる。このとき

S = 2 (\frac{1}{4} - 2)^{2} + 2 = 2 \frac{81}{16} = \frac{9}{2}

である。

一橋大学 2024年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

一橋大学 2024年度
文系数学第4問