一橋大学 2024年度文系数学第2問解答・解説

問題

$a ，$ $b$ を実数とする．曲線 $C ： y = x^{2}$ と曲線 $C^{^{'}} ： y = - x^{2} + a x + b$ はある点を共有しており，その点におけるそれぞれの接線は直交している． $C$ と $C^{^{'}}$ で囲まれた部分の面積の最小値を求めよ．

出典：一橋大学 2024年度前期文系第2問

共有点の $x$ 座標を $t$ とおき，接線の傾きの積が $- 1$ になる条件から $a, b$ を $t$ で表す。2つの放物線のもう一つの交点を求め，交点間の距離だけで囲まれた面積を表す。最後は $u + 1/ u$ 型の基本不等式で最小値を出す。

共有点の $x$ 座標を $t$ とする。この点は $C : y = x^{2}$ 上にあるので共有点は $(t, t^{2})$ である。 $C^{'} : y = - x^{2} + a x + b$ もこの点を通るから

t^{2} = - t^{2} + a t + b

である。また，この点での2つの接線の傾きはそれぞれ $2 t$ ， $- 2 t + a$ である。直交条件より

2 t (- 2 t + a) = - 1

であり，特に $t \neq = 0$ である。したがって

a = 2 t - \frac{1}{2 t}, b = 2 t^{2} - a t = \frac{1}{2}

となる。

交点の $x$ 座標は

x^{2} = - x^{2} + a x + b

すなわち $2 x^{2} - a x - b = 0$ の解である。一つの解が $t$ だから，もう一つの解を $s$ とすると

t + s = \frac{a}{2} = t - \frac{1}{4 t}

より $s = - 1/ (4 t)$ である。

2つの放物線の差は2次式であり，交点の間で囲まれる面積は

\int_{m i n (s, t)}^{m a x (s, t)} 2∣ (x - s) (x - t) ∣ d x = \frac{∣ t - s ∣ ^{3}}{3}

である。ここで

∣ t - s ∣ = t + \frac{1}{4 t} = \frac{1}{2} 2 t + \frac{1}{2 t} .

$u = 2 t$ とおくと， $u \neq = 0$ であり

u + \frac{1}{u} ≧ 2

だから $∣ t - s ∣ ≧ 1$ である。等号は $u = 1$ または $u = - 1$ ，すなわち $t = 1/2$ または $t = - 1/2$ のとき成り立つ。よって面積の最小値は

\frac{1 ^{3}}{3} = \frac{1}{3}

である。