一橋大学 2024年度文系数学第3問解答・解説

問題

$f (x)$ は $x$ に関する $4$ 次多項式で $4$ 次の係数は $1$ である． $f (x)$ は $(x + 1)^{2}$ で割ると $1$ 余り， $(x - 1)^{2}$ で割ると $2$ 余る． $f (x)$ を求めよ．

出典：一橋大学 2024年度前期文系第3問

$(x + 1)^{2}$ で割った余りが定数 $1$ であることを $f (- 1) = 1, f^{'} (- 1) = 0$ と読み替える。同様に $(x - 1)^{2}$ について $f (1) = 2, f^{'} (1) = 0$ を立て，未知係数を連立一次方程式で決める。

$f (x) = x^{4} + A x^{3} + B x^{2} + C x + D$ とおく。 $(x + 1)^{2}$ で割ると $1$ 余るから

f (- 1) = 1, f^{'} (- 1) = 0

である。同様に， $(x - 1)^{2}$ で割ると $2$ 余るから

f (1) = 2, f^{'} (1) = 0

である。

$f^{'} (x) = 4 x^{3} + 3 A x^{2} + 2 B x + C$ なので，これらは

- A + B - C + D - 4 + 3 A - 2 B + C A + B + C + D 4 + 3 A + 2 B + C = = = = 0, 0, 1, 0

となる。第2式と第4式の差から $B = - 2$ である。また第1式と第3式の差から $A + C = 1/2$ ，第4式から $3 A + C = 0$ である。よって

A = - \frac{1}{4}, C = \frac{3}{4}

であり，第3式から $D = 5/2$ である。したがって

f (x) = x^{4} - \frac{1}{4} x^{3} - 2 x^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{2}

である。