一橋大学 2022年度文系数学第5問解答・解説

問題

中身の見えない $2$ つの箱があり， $1$ つの箱には赤玉 $2$ つと白玉 $1$ つが入っており，もう $1$ つの箱には赤玉 $1$ つと白玉 $2$ つが入っている。どちらかの箱を選び，選んだ箱の中から玉を $1$ つ取り出して元に戻す，という操作を繰り返す。

(1) $1$ 回目は箱を無作為に選び， $2$ 回目以降は，前回取り出した玉が赤玉なら前回と同じ箱，前回取り出した玉が白玉なら前回とは異なる箱を選ぶ。 $n$ 回目に赤玉を取り出す確率 $p_{n}$ を求めよ。

(2) $1$ 回目は箱を無作為に選び， $2$ 回目以降は，前回取り出した玉が赤玉なら前回と同じ箱，前回取り出した玉が白玉なら箱を無作為に選ぶ。 $n$ 回目に赤玉を取り出す確率 $q_{n}$ を求めよ。

出典：一橋大学 2022年度前期文系第5問

赤玉が多い箱を $A$ ，白玉が多い箱を $B$ とし， $n$ 回目に $A$ を選ぶ確率を状態変数にする。赤玉を取り出す確率は， $A$ を選ぶ確率を $r$ とすると $1/3 + r /3$ である。(1)は1回後に状態確率が一定になり，(2)は一次漸化式を解く。

赤玉が $2$ つ入っている箱を $A$ ，赤玉が $1$ つ入っている箱を $B$ とする。 $n$ 回目に箱 $A$ を選ぶ確率を $r_{n}$ とする。このとき $n$ 回目に赤玉を取り出す確率は

p_{n} = \frac{2}{3} r_{n} + \frac{1}{3} (1 - r_{n}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} r_{n}

である。 $r_{1} = 1/2$ なので $p_{1} = 1/2$ である。

(1)の規則では，箱 $A$ を選んで赤玉を出すか，箱 $B$ を選んで白玉を出すと，次回は箱 $A$ を選ぶ。したがって

r_{n + 1} = \frac{2}{3} r_{n} + \frac{2}{3} (1 - r_{n}) = \frac{2}{3}

である。よって $n ≧ 2$ では $r_{n} = 2/3$ となるから

p_{n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{9}

である。したがって

p_{1} = \frac{1}{2}, p_{n} = \frac{5}{9} (n ≧ 2)

である。

同じく， $n$ 回目に箱 $A$ を選ぶ確率を $s_{n}$ とする。 $s_{1} = 1/2$ であり， $q_{n} = 1/3 + s_{n} /3$ である。

(2)の規則では，赤玉なら同じ箱，白玉なら次回の箱を無作為に選ぶ。したがって

s_{n + 1} = \frac{2}{3} s_{n} + \frac{1}{2} {\frac{1}{3} s_{n} + \frac{2}{3} (1 - s_{n})} = \frac{1}{2} s_{n} + \frac{1}{3}

である。両辺から $2/3$ を引くと

s_{n + 1} - \frac{2}{3} = \frac{1}{2} (s_{n} - \frac{2}{3})

であるから，

s_{n} = \frac{2}{3} - \frac{1}{6 \cdot 2 ^{n - 1}}

を得る。よって

q_{n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} s_{n} = \frac{5}{9} - \frac{1}{9 \cdot 2 ^{n}}

である。