一橋大学 2022年度文系数学第3問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 実数 $x, y$ について， $∣ x - y ∣ ≦ x + y$ であることの必要十分条件は， $x ≧ 0$ かつ $y ≧ 0$ であることを示せ。

(2) 次の不等式で定まる $x y$ 平面上の領域を図示せよ。

∣1 + y - 2 x^{2} - y^{2} ∣ ≦ 1 - y - y^{2}

出典：一橋大学 2022年度前期文系第3問

方針

(1)は右辺が非負であることを確認してから両辺を平方し，和と積の条件に直す。(2)は絶対値不等式を $- R ≦ L ≦ R$ の形で処理する。得られる条件は $x^{2} + y^{2} ≦ 1$ と $y ≦ x^{2}$ であり，右辺の非負条件はこの2条件から従うことも確認する。

解答

(1)

まず $x ≧ 0$ かつ $y ≧ 0$ とする。このとき $x + y ≧ 0$ であり，

(x + y)^{2} - (x - y)^{2} = 4 x y ≧ 0

だから $∣ x - y ∣ ≦ x + y$ が成り立つ。

逆に $∣ x - y ∣ ≦ x + y$ とする。左辺は $0$ 以上であるから $x + y ≧ 0$ である。両辺を平方してよいので

(x - y)^{2} ≦ (x + y)^{2}

となり，整理して $x y ≧ 0$ を得る。 $x y ≧ 0$ かつ $x + y ≧ 0$ であるから， $x, y$ はともに $0$ 以上である。

(2)

$L = 1 + y - 2 x^{2} - y^{2}$ ， $R = 1 - y - y^{2}$ とおく。与えられた不等式は $∣ L ∣ ≦ R$ であるから， $- R ≦ L ≦ R$ が必要である。これを整理すると，左側の不等式から

x^{2} + y^{2} ≦ 1

を得る。また右側の不等式から

y ≦ x^{2}

を得る。

逆に， $x^{2} + y^{2} ≦ 1$ かつ $y ≦ x^{2}$ とする。このとき上の変形を逆にたどれば $- R ≦ L ≦ R$ である。また $y > 0$ のときは $y ≦ x^{2} ≦ 1 - y^{2}$ より $R ≧ 0$ であり， $y ≦ 0$ のときも $x^{2} + y^{2} ≦ 1$ から $R = 1 - y - y^{2} ≧ 0$ である。したがって $∣ L ∣ ≦ R$ が成り立つ。

よって求める領域は

x^{2} + y^{2} ≦ 1, y ≦ x^{2}

で表される。すなわち，単位円の内部および周上のうち，放物線 $y = x^{2}$ の下側にある部分である。境界は円 $x^{2} + y^{2} = 1$ と放物線 $y = x^{2}$ を含む。

一橋大学 2022年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

一橋大学 2022年度
文系数学第3問