一橋大学 2022年度文系数学第2問解答・解説

問題

$0 ≦ θ < 2 π$ とする。座標平面上の $3$ 点 $O (0, 0)$ ， $P (cos θ, sin θ)$ ， $Q (1, 3 sin 2 θ)$ が三角形をなすとき， $△ O P Q$ の面積の最大値を求めよ。

出典：一橋大学 2022年度前期文系第2問

三角形の面積を2つのベクトルの成分から表し， $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ を代入する。絶対値つきの式を最大化するため， $u = cos^{2} θ$ とおいて面積の2倍の平方を $u$ の関数に直し， $0 ≦ u ≦ 1$ で最大値を調べる。

$△ O P Q$ の面積を $S$ とする。 $O$ が原点であるから

2 S = ∣3 cos θ sin 2 θ - sin θ ∣

である。 $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ より

2 S = ∣ sin θ (6 cos^{2} θ - 1) ∣

となる。

$u = cos^{2} θ$ とおくと $0 ≦ u ≦ 1$ であり，

(2 S)^{2} = (1 - u) (6 u - 1)^{2}

である。 $g (u) = (1 - u) (6 u - 1)^{2}$ とおくと

g^{'} (u) = (6 u - 1) (13 - 18 u)

である。したがって候補は $u = 0, 1, 1/6, 13/18$ である。それぞれ

g (0) = 1, g (1) = 0, g (1/6) = 0, g (13/18) = \frac{250}{81}

であるから，最大値は $250/81$ である。よって

2 S ≦ \frac{5 10}{9}

であり，面積の最大値は

\frac{5 10}{18}

である。このとき面積は正なので，三角形をなす条件も満たしている。