一橋大学 2022年度文系数学第4問解答・解説

問題

$t$ を実数とし，座標空間に点 $A (t - 1, t, t + 1)$ をとる。また， $(0, 0, 0)$ ， $(1, 0, 0)$ ， $(0, 1, 0)$ ， $(1, 1, 0)$ ， $(0, 0, 1)$ ， $(1, 0, 1)$ ， $(0, 1, 1)$ ， $(1, 1, 1)$ を頂点とする立方体を $D$ とする。点 $P$ が $D$ の内部およびすべての面上を動くとき，線分 $A P$ の動く範囲を $W$ とし， $W$ の体積を $f (t)$ とする。

(1) $f (- 1)$ を求めよ。

(2) $f (t)$ のグラフを描き， $f (t)$ の最小値を求めよ。

出典：一橋大学 2022年度前期文系第4問

方針

$D$ は凸なので， $W$ は立方体 $D$ と点 $A$ の凸包である。点 $A$ から見える立方体の面ごとに，その面を底面，高さを $A$ から面までの距離とする三角錐を立方体に付け加えればよい。各面の面積は $1$ なので，外側に出ている距離の正の部分の和を $1/3$ 倍して体積を求める。

解答

(1)

立方体 $D$ は $0 ≦ x ≦ 1$ ， $0 ≦ y ≦ 1$ ， $0 ≦ z ≦ 1$ で表される。 $D$ は凸集合であるから，点 $P$ が $D$ 全体を動くときの線分 $A P$ の通過範囲 $W$ は，点 $A$ と立方体 $D$ の凸包である。

点 $A$ が立方体の外側にあるとき， $W$ は立方体に，点 $A$ から見える面を底面とする三角錐を付け加えた立体になる。各面の面積は $1$ であり，その三角錐の高さは $A$ からその面までの距離である。

$t = - 1$ のとき， $A = (- 2, - 1, 0)$ である。外側に出ているのは $x < 0$ 側に距離 $2$ ， $y < 0$ 側に距離 $1$ である。したがって

f (- 1) = 1 + \frac{1}{3} (2 + 1) = 2

である。

(2)

一般の $t$ について，点 $A (t - 1, t, t + 1)$ が各座標方向で立方体の外側に出ている距離の和を調べる。境目は $t = - 1, 0, 1, 2$ である。

$t < - 1$ のとき，外側に出る距離の和は

(1 - t) + (- t) + (- t - 1) = - 3 t

である。よって $f (t) = 1 - t$ である。

$- 1 ≦ t < 0$ のとき，外側に出る距離の和は

(1 - t) + (- t) = 1 - 2 t

である。よって $f (t) = (4 - 2 t) /3$ である。

$0 ≦ t < 1$ のとき，外側に出る距離の和は

(1 - t) + t = 1

である。よって $f (t) = 4/3$ である。

$1 ≦ t < 2$ のとき，外側に出る距離の和は

(t - 1) + t = 2 t - 1

である。よって $f (t) = (2 t + 2) /3$ である。

$2 ≦ t$ のとき，外側に出る距離の和は

(t - 2) + (t - 1) + t = 3 t - 3

である。よって $f (t) = t$ である。

以上より

f (t) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - t \frac{4 - 2 t}{3} \frac{4}{3} \frac{2 t + 2}{3} t (t < - 1), (- 1 ≦ t < 0), (0 ≦ t < 1), (1 ≦ t < 2), (2 ≦ t)

である。端点で値は連続につながるので，グラフはこれらの線分および半直線をつないだ折れ線である。

この式から， $0 ≦ t ≦ 1$ で $f (t) = 4/3$ となり，他の範囲ではそれ以上である。したがって $f (t)$ の最小値は

\frac{4}{3}

である。

一橋大学 2022年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

一橋大学 2022年度
文系数学第4問