問題
を満たす 以上の整数 の組を求めよ。
出典：一橋大学 2022年度 前期 文系 第1問
方針
である。まず両項の偶奇を調べ，両方が奇数の場合を除く。両方が偶数であることから で割り，片方だけが奇数になるので，その項を のべきとして有限個に絞る。最後は のべきの候補を調べ，順序を戻す。
解答
求める式の左辺の各項は正の整数である。 は偶数であるから， と は同じ偶奇である。
両方が奇数であるとすると である。さらに右辺は で割り切れるから はともに 以上でなければならない。このとき となる。もし がともに 以上なら左辺は で割り切れるが， は で割り切れない。一方，どちらかが なら他方の項は となり，これは のべきでない。したがって両方が奇数の場合はない。
よって はともに 以上である。両辺を で割ると
である。右辺は奇数なので，左辺の二項のうち一方だけが奇数である。したがって，一方の の指数は ，他方は 以上である。順序を入れ替えて としてよい。このとき
である。
より のいずれかである。それぞれ を調べると， の形になるのは
の場合だけである。したがって ，すなわち を得る。二項の順序を戻すと，求める組は
である。