一橋大学 2021年度文系数学第5問解答・解説

問題

サイコロを $3$ 回投げて出た目を順に $a, b, c$ とするとき，

\int_{a - 3}^{a + 3} (x - b) (x - c) d x = 0

となる確率を求めよ。

出典：一橋大学 2021年度前期文系第5問

方針

積分区間の中央が $a$ なので， $x = a + t$ と置いて $- 3 ≦ t ≦ 3$ の対称区間に直す。奇関数部分は積分で消え，条件は $18 + 6 (a - b) (a - c) = 0$ ，すなわち $(a - b) (a - c) = - 3$ になる。あとはサイコロの範囲で順序つきに数える。

解答

$x = a + t$ とおくと，積分区間は $- 3 ≦ t ≦ 3$ となる。被積分関数は

(x - b) (x - c) = (t + a - b) (t + a - c)

であるから，

(t + a - b) (t + a - c) = t^{2} + (2 a - b - c) t + (a - b) (a - c)

である。対称区間で $t$ の一次の項の積分は $0$ なので，条件は

\int_{- 3}^{3} t^{2} d t + 6 (a - b) (a - c) = 0

である。ここで $\int_{- 3}^{3} t^{2} d t = 18$ だから

(a - b) (a - c) = - 3

となる。

$(a - b), (a - c)$ は整数であり，積が $- 3$ であるから

(a - b, a - c) = (1, - 3), (- 1, 3), (3, - 1), (- 3, 1)

のいずれかである。サイコロの目が $1$ から $6$ までであることを調べると，条件を満たす順序つきの組は

(2, 1, 5), (2, 5, 1), (3, 2, 6), (3, 6, 2), (4, 1, 5), (4, 5, 1), (5, 2, 6), (5, 6, 2)

の $8$ 個である。全事象は $6^{3} = 216$ 通りであるから，求める確率は

\frac{8}{216} = \frac{1}{27}

である。

一橋大学 2021年度文系数学 第5問

問題

方針

解答

一橋大学 2021年度
文系数学第5問