問題
以下の素数は 個以下であることを示せ。
出典：一橋大学 2021年度 前期 文系 第1問
方針
以外の素数は，いずれも のどれでも割り切れない。そこで から までの整数のうち， のいずれでも割り切れないものの個数を包除原理で数え，そこに の4個を足して上界にする。
解答
以外の素数は， のどれでも割り切れない。したがって， 以下の素数の個数は， から までの整数のうち のいずれでも割り切れないものの個数に， の 個を加えた数以下である。
包除原理により， から までの整数のうち のいずれでも割り切れないものの個数を数える。 の倍数の個数の和は
である。2つの積の倍数の個数の和は
であり，3つの積の倍数の個数の和は
である。4つすべての積 の倍数は 個である。よって求める個数は
である。
したがって 以下の素数の個数は高々
である。よって 以下の素数は 個以下である。