一橋大学 2021年度文系数学第2問解答・解説

問題

実数 $x$ に対し， $x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。数列 ${a_{k}}$ を

a_{k} = 2^{[k]} (k = 1, 2, 3, \dots)

で定義する。正の整数 $n$ に対して

b_{n} = k = 1 \sum n^{2} a_{k}

を求めよ。

出典：一橋大学 2021年度前期文系第2問

方針

$[k] = m$ となる $k$ の範囲は $m^{2} ≦ k < (m + 1)^{2}$ であり，個数は $2 m + 1$ である。 $k ≦ n^{2}$ では， $m = 1, 2, \dots, n - 1$ がまとまって現れ，最後に $k = n^{2}$ の1項だけが $m = n$ になる。あとは等比数列の和と $m 2^{m}$ の和を整理する。

解答

$[k] = m$ となるのは

m^{2} ≦ k < (m + 1)^{2}

のときである。したがって， $m = 1, 2, \dots, n - 1$ については，そのような $k$ は $2 m + 1$ 個ある。また $k = n^{2}$ の1項だけは $[k] = n$ である。よって

b_{n} = m = 1 \sum n - 1 (2 m + 1) 2^{m} + 2^{n}

である。

ここで

m = 1 \sum N m 2^{m} = (N - 1) 2^{N + 1} + 2

を用いると， $N = n - 1$ として

m = 1 \sum n - 1 (2 m + 1) 2^{m} = (2 n - 3) 2^{n} + 2

である。したがって

b_{n} = (2 n - 3) 2^{n} + 2 + 2^{n} = (2 n - 2) 2^{n} + 2

となる。すなわち

b_{n} = (n - 1) 2^{n + 1} + 2

である。

一橋大学 2021年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

一橋大学 2021年度
文系数学第2問