一橋大学 2021年度文系数学第4問解答・解説

問題

$k > 0$ とする。円 $C$ を $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ とし，放物線 $S$ を $y = \frac{1}{k} x^{2}$ とする。

(1) $C$ と $S$ が共有点をちょうど $3$ 個持つときの $k$ の範囲を求めよ。

(2) $k$ が(1)の範囲を動くとき， $C$ と $S$ の共有点のうちで $x$ 座標が正の点を $P$ とする。 $P$ における $S$ の接線と $S$ と $y$ 軸とによって囲まれる領域の面積の最大値を求めよ。

出典：一橋大学 2021年度前期文系第4問

方針

交点は $y = x^{2} / k$ を円に代入し， $u = x^{2}$ として調べる。原点は常に共有点で，その他に正の $u$ が出る条件がちょうど3個の条件である。(2)では正の交点の $x$ 座標を $x_{0}$ とし，放物線と接線の差が $(x - x_{0})^{2} / k$ になることから面積を求める。

解答

(1)

放物線の式 $y = x^{2} / k$ を円の式に代入する。 $u = x^{2}$ とおくと

u + (\frac{u}{k} - 1)^{2} = 1

である。整理すると

u (\frac{u}{k ^{2}} + 1 - \frac{2}{k}) = 0

となる。したがって $u = 0$ は常に解であり，これは共有点 $(0, 0)$ を表す。もう一つの解は

u = 2 k - k^{2} = k (2 - k)

である。これが正であれば， $x = \pm k (2 - k)$ に対応する2点が加わり，共有点はちょうど3個となる。

よって必要十分条件は

0 < k < 2

である。

(2)

$0 < k < 2$ とする。正の共有点を $P (x_{0}, y_{0})$ とおくと

x_{0} = k (2 - k), y_{0} = \frac{x _{0}^{2}}{k} = 2 - k

である。放物線 $S$ の $P$ における接線は

y - y_{0} = \frac{2 x _{0}}{k} (x - x_{0})

である。

放物線とこの接線との差は

\frac{x ^{2}}{k} - {y_{0} + \frac{2 x _{0}}{k} (x - x_{0})} = \frac{( x - x _{0} ) ^{2}}{k}

である。したがって，求める面積 $A (k)$ は

A (k) = \int_{0}^{x_{0}} \frac{( x - x _{0} ) ^{2}}{k} d x = \frac{x _{0}^{3}}{3 k}

である。 $x_{0}^{2} = k (2 - k)$ より

A (k) = \frac{k ( 2 - k ) ^{3/2}}{3}

となる。

$A (k)^{2} = \frac{1}{9} k (2 - k)^{3}$ であるから， $0 < k < 2$ で $k (2 - k)^{3}$ を最大にすればよい。 $h (k) = k (2 - k)^{3}$ とおくと

h^{'} (k) = (2 - k)^{2} (2 - 4 k)

である。よって最大は $k = 1/2$ で生じる。このとき

A (\frac{1}{2}) = \frac{1/2 ( 3/2 ) ^{3/2}}{3} = \frac{3}{4}

である。したがって面積の最大値は $3 /4$ である。

一橋大学 2021年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

一橋大学 2021年度
文系数学第4問