一橋大学 2021年度文系数学第3問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) $a, b$ を実数とし， $2$ 次方程式 $x^{2} - a x + b = 0$ が実数解 $α, β$ をもつとする。ただし，重解の場合は $α = β$ とする。 $3$ 辺の長さが $1, α, β$ である三角形が存在する $(a, b)$ の範囲を求め図示せよ。

(2) $3$ 辺の長さが $1, α, β$ である三角形が存在するとき，

\frac{α β + 1}{( α + β ) ^{2}}

の値の範囲を求めよ。

出典：一橋大学 2021年度前期文系第3問

方針

解と係数の関係より $a = α + β$ ， $b = α β$ である。三角形の成立条件は $α > 0, β > 0$ かつ $∣ α - β ∣ < 1 < α + β$ であり，これを $a, b$ と判別式 $a^{2} - 4 b$ で表す。(2)は $b$ の範囲を固定した $a$ ごとの範囲に直し， $a > 1$ を動かして全体の値域を取る。

解答

(1)

解と係数の関係より

a = α + β, b = α β

である。 $1, α, β$ が三角形の3辺となるための条件は

α > 0, β > 0, ∣ α - β ∣ < 1 < α + β

である。ここで

(α - β)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β = a^{2} - 4 b

であるから，条件は

a > 1, 0 ≦ a^{2} - 4 b < 1

と同値である。実際，この条件のもとでは $b > 0$ かつ $a > 0$ なので， $α, β$ はともに正である。

したがって求める範囲は

a > 1, \frac{a ^{2} - 1}{4} < b ≦ \frac{a ^{2}}{4}

である。図では， $a > 1$ の部分で，放物線 $b = (a^{2} - 1) /4$ の上側かつ放物線 $b = a^{2} /4$ の下側をとる。ただし下側の境界 $b = (a^{2} - 1) /4$ は含まず，上側の境界 $b = a^{2} /4$ は含む。

(2)

求める値を $R$ とおくと，

R = \frac{b + 1}{a ^{2}}

である。(1)より，固定した $a > 1$ に対して

\frac{a ^{2} - 1}{4} < b ≦ \frac{a ^{2}}{4}

であるから

\frac{1}{4} + \frac{3}{4 a ^{2}} < R ≦ \frac{1}{4} + \frac{1}{a ^{2}}

である。ここで $a > 1$ なので $1/ a^{2}$ は $0 < 1/ a^{2} < 1$ の範囲を動く。

$u = 1/ a^{2}$ とおけば， $R$ は

\frac{1}{4} + \frac{3}{4} u < R ≦ \frac{1}{4} + u, 0 < u < 1

を満たす。これらを合わせると， $R$ の取り得る値は

\frac{1}{4} < R < \frac{5}{4}

である。したがって求める範囲は

\frac{1}{4} < \frac{α β + 1}{( α + β ) ^{2}} < \frac{5}{4}

である。

一橋大学 2021年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

一橋大学 2021年度
文系数学第3問