一橋大学 2020年度文系数学第5問解答・解説

問題

$n$ を正の整数とする． $1$ 枚の硬貨を投げ，表が出れば $1$ 点，裏が出れば $2$ 点を得る．この試行を繰り返し，点の合計が $n$ 以上になったらやめる．点の合計がちょうど $n$ になる確率を $p_{n}$ で表す．(1)　 $p_{1} ，$ $p_{2} ，$ $p_{3} ，$ $p_{4}$ を求めよ．(2)　 $∣ p_{n + 1} - p_{n} ∣ < 0.01$ を満たす最小の $n$ を求めよ．

出典：一橋大学 2020年度前期文系第5問

方針

点の合計がちょうど $n$ になるためには，最初に $1$ 点を得て残り $n - 1$ をちょうど作るか，最初に $2$ 点を得て残り $n - 2$ をちょうど作るかである。これにより $p_{n} = (p_{n - 1} + p_{n - 2}) /2$ を作り，初期値から第(1)問を求める。第(2)問は定数解を引いて等比型に直す。

解答

(1)

$p_{1}$ は最初に表が出る確率だから $p_{1} = 1/2$ である。 $p_{2}$ は最初に裏が出る場合，または表，表と出る場合であるから $p_{2} = 1/2 + 1/4 = 3/4$ である。

$n ≧ 3$ について，最初に表が出れば残りは $n - 1$ をちょうど作る問題，最初に裏が出れば残りは $n - 2$ をちょうど作る問題になる。よって

p_{n} = \frac{1}{2} p_{n - 1} + \frac{1}{2} p_{n - 2}

である。したがって

p_{3} = \frac{1}{2} (\frac{3}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{5}{8}, p_{4} = \frac{1}{2} (\frac{5}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{11}{16}

である。

(2)

漸化式 $p_{n} = (p_{n - 1} + p_{n - 2}) /2$ の定数解を考えると，極限の候補は一定でよい。実際， $p_{n} = A + B (- 1/2)^{n}$ とおくと初期値から

A - \frac{1}{2} B = \frac{1}{2}, A + \frac{1}{4} B = \frac{3}{4}

である。これを解いて $A = 2/3$ ， $B = 1/3$ を得る。よって

p_{n} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n}

である。

したがって

∣ p_{n + 1} - p_{n} ∣ = \frac{1}{2 ^{n + 1}}

である。これが $0.01 = 1/100$ より小さいためには $2^{n + 1} > 100$ が必要十分である。 $2^{6} = 64$ ， $2^{7} = 128$ より，最小の $n$ は $6$ である。

一橋大学 2020年度文系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

一橋大学 2020年度
文系数学第5問