一橋大学 2020年度文系数学第3問解答・解説

問題

半径 $1$ の円周上に $3$ 点 $A ，$ $B ，$ $C$ がある．内積 $A B \cdot A C$ の最大値と最小値を求めよ．

出典：一橋大学 2020年度前期文系第3問

方針

円の中心を原点に取り，回転して $A = (1, 0)$ としてよい。 $B = (cos u, sin u)$ ， $C = (cos v, sin v)$ とおき， $A B \cdot A C$ を $u, v$ で表す。和積公式を使って $s = cos ((u - v) /2)$ と $cos ((u + v) /2)$ に分け，後者を $[- 1, 1]$ の範囲で動かして最大・最小を調べる。

解答

円の中心を原点とし，半径が $1$ であるから，回転により $A = (1, 0)$ としてよい。 $B = (cos u, sin u)$ ， $C = (cos v, sin v)$ とおく。このとき

A B \cdot A C = (B - A) \cdot (C - A) = cos (u - v) - cos u - cos v + 1

である。

$X = (u + v) /2$ ， $Y = (u - v) /2$ とおくと，和積公式より

cos (u - v) - cos u - cos v + 1 = 1 + cos 2 Y - 2 cos X cos Y = 2 cos^{2} Y - 2 cos X cos Y

である。 $s = cos Y$ とおくと $- 1 ≦ s ≦ 1$ であり， $cos X$ も $[- 1, 1]$ の値をとりうる。したがって値は $2 s^{2} - 2 s cos X$ と表される。

固定した $s$ に対して，最大値は $2 s^{2} + 2∣ s ∣$ ，最小値は $2 s^{2} - 2∣ s ∣$ である。 $q = ∣ s ∣$ とおくと $0 ≦ q ≦ 1$ であるから，最大値は $2 q^{2} + 2 q$ の最大値で $4$ ，最小値は $2 q^{2} - 2 q = 2 (q - 1/2)^{2} - 1/2$ の最小値で $- 1/2$ である。

以上より，最大値は $4$ ，最小値は $- 1/2$ である。

一橋大学 2020年度文系数学 第3問

問題

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解答

一橋大学 2020年度
文系数学第3問