問題
以下の問いに答えよ．(1) をで割った余りを求めよ．(2) 桁の正の整数で各位の数の和がとなるもののうち，で割り切れるものの個数を求めよ．
出典：一橋大学 2020年度 前期 文系 第1問
方針
(1) は と分解し， と での余りを合わせる。 を用いる。
(2) は各位の和が であることから，数字の置かれ方を「 が1個」または「 が2個」に分ける。 で割り切れる条件を，末尾2桁による の条件と， での合同条件に分けて数える。
解答
(1)
であり， と は互いに素である。 は で割り切れる。また， より， である。
求める余りを とすると，，， である。 とおくと， である。 だから であり， より となる。
(2)
右から 桁目と番号をつける。 で割り切れるなら で割り切れるので，一の位は で，十の位は偶数でなければならない。
各位の和が であるから，可能性は が1個だけ現れる場合と， が2個現れる場合である。 が1個だけ現れる場合， 桁の整数であるためにはその が 桁目にあるしかない。しかしこの数は で割った余りが であり， だから割り切れない。
したがって が2個現れる場合を考える。 桁の整数であるから，一つは 桁目にある。もう一つを 桁目に置く。十の位に があると で割り切れないので， である。また一の位は であるから である。
， より である。よって で割り切れる条件は ，すなわち である。 の範囲でこれを満たすものは の 個である。
以上より，求める個数は 個である。