一橋大学 2020年度文系数学第4問解答・解説

問題

$x > 0$ に対し

F (x) = \frac{1}{x} \int_{2 - x}^{2 + x} ∣ t - x ∣ dt

と定める． $F (x)$ の最小値を求めよ．

出典：一橋大学 2020年度前期文系第4問

絶対値の中身が $0$ になる点 $t = x$ が積分区間 $[2 - x, 2 + x]$ に入るかで場合分けする。 $0 < x < 1$ では絶対値を外して一次式の積分にし， $x ≧ 1$ では $t = x$ を境に分ける。得られた $F (x)$ の最小値を各範囲で比較する。

$t = x$ が積分区間 $[2 - x, 2 + x]$ に含まれる条件は $2 - x ≦ x$ ，すなわち $x ≧ 1$ である。

まず $0 < x < 1$ のとき，区間全体で $t - x > 0$ であるから

\int_{2 - x}^{2 + x} ∣ t - x ∣ d t = \int_{2 - x}^{2 + x} (t - x) d t = 2 x (2 - x)

である。よって $F (x) = 4 - 2 x$ となり，この範囲での値は $2$ より大きい。

次に $x ≧ 1$ のとき， $t = x$ で積分を分けると

\int_{2 - x}^{2 + x} ∣ t - x ∣ d t = \frac{( 2 x - 2 ) ^{2}}{2} + \frac{2 ^{2}}{2} = 2 x^{2} - 4 x + 4

である。したがって

F (x) = 2 x - 4 + \frac{4}{x} (x ≧ 1)

となる。微分すると $F^{'} (x) = 2 - 4/ x^{2}$ であり， $x ≧ 1$ で $F^{'} (x) = 0$ となるのは $x = 2$ である。 $1 ≦ x < 2$ では減少し， $x > 2$ では増加するから，この範囲の最小値は

F (2) = 22 - 4 + \frac{4}{2} = 42 - 4

である。

$42 - 4 < 2$ なので，求める最小値は $42 - 4$ である。