一橋大学 2020年度文系数学第2問解答・解説

問題

$a$ を定数とし， $0 ≦ θ < π$ とする．方程式

t an 2 θ + a t an θ = 0

を満たす $θ$ の個数を求めよ．

出典：一橋大学 2020年度前期文系第2問

方針

$t = tan θ$ とおく。ただし $0 ≦ θ < π$ で $tan θ$ が定義される範囲では， $t$ は実数全体を一度ずつ動く。さらに $tan 2 θ$ が定義されるため $t \neq = \pm 1$ である。 $tan 2 θ = 2 t / (1 - t^{2})$ により， $t = 0$ と， $t^{2} = (a + 2) / a$ の実数解の有無を調べる。

解答

$tan θ$ が定義されない $θ = π /2$ ，および $tan 2 θ$ が定義されない $θ = π /4, 3 π /4$ は除く。 $t = tan θ$ とおくと， $0 ≦ θ < π$ において $t$ は実数全体を一度ずつ動く。また $t \neq = \pm 1$ である。

方程式は

\frac{2 t}{1 - t ^{2}} + a t = 0

であるから，

t (\frac{2}{1 - t ^{2}} + a) = 0

となる。まず $t = 0$ から $θ = 0$ が常に1個得られる。

次に $2/ (1 - t^{2}) + a = 0$ を考える。 $a = 0$ のときは解をもたない。 $a \neq = 0$ のとき，これは

t^{2} = \frac{a + 2}{a}

と同値である。この右辺が正なら $t$ は正負2個の実数値をとり，それぞれに $θ$ が一つずつ対応する。右辺が正となるのは $a > 0$ または $a < - 2$ のときである。 $a = - 2$ では右辺が $0$ となるが，これはすでに数えた $t = 0$ である。

したがって，解の個数は

{31 (a < - 2 または a > 0), (- 2 ≦ a ≦ 0)

である。

一橋大学 2020年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

一橋大学 2020年度
文系数学第2問