問題
右上の図のような縦列横列の個のマスがある．異なる個のマスを選び，それぞれに枚ずつコインを置く．マスの選び方は，どれも同様に確からしいものとする．縦と横の各列について，点数を次のように定める．
その列に置かれているコインが枚以下のとき，点
その列に置かれているコインがちょうど枚のとき，点
その列に置かれているコインが枚のとき，点
縦と横のすべての列の点数の合計をとする．たとえば，右下の図のようにコインが置かれている場合，縦の列目と横の列目の点数が点，他の列の点数が点であるから，となる．(1) となる確率を求めよ．(2) となる確率を求めよ．(3) となる確率を求めよ．
方針
個から 個のマスを選ぶ総数は である。行方向の3列と列方向の3列について，コイン数の分布を ，， に分類し，それぞれの点数が であることを使う。行の型と列の型の組を数え， に対応させる。
解答
全事象の数は， 個のマスから 個を選ぶので
である。
3枚のコインについて，縦方向の3列に入る枚数の型は，，， のいずれかである。それぞれ縦方向の点数は である。横方向についても同様である。
(1)
となるのは，ある縦列に3枚すべてが入る場合，またはある横列に3枚すべてが入る場合である。前者は3通り，後者も3通りで，重複はない。したがって確率は
である。
(2)
となるのは，一方の方向の型が ，他方の方向の型が の場合である。
縦方向が ，横方向が となる配置を数える。2枚入る縦列の選び方が3通り，1枚入る縦列の選び方が2通り，2枚入る縦列で使う横列の選び方が 通りである。残りの1枚は残った横列に置くしかないので，合計 通りである。縦横を入れ替えた場合も同じく18通りである。よって確率は
である。
(3)
となるのは，縦方向も横方向も型が の場合である。縦方向が となる配置は，2枚入る縦列を3通り，1枚入る縦列を2通り，2枚入る縦列の中のマスを 通り，1枚入る縦列の中のマスを3通りで選ぶので 通りである。
このうち横方向が となるものは第(2)問で数えた18通りである。横方向が となることは，縦方向が である場合には起こらない。したがって縦横ともに となる配置は 通りである。よって確率は
である。