一橋大学 2019年度文系数学第3問解答・解説

問題

$f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ とする．また， $α$ は $1$ より大きい実数とする．曲線 $C ： y = f (x)$ 上の点 $P (α, f (α))$ における接線と $x$ 軸の交点を $Q$ とする．点 $Q$ を通る $C$ の接線の中で傾きが最小のものを $l$ とする．(1)　 $l$ と $C$ の接点の $x$ 座標を $α$ の式で表せ．(2)　 $α = 2$ とする． $l$ と $C$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

出典：一橋大学 2019年度前期文系第3問

方針

曲線上の $x = t$ における接線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $g (t) = t - f (t) / f^{'} (t)$ として表す。 $Q$ は $g (α)$ にあるので， $g (t) = g (α)$ を解く。接線 $y = 0$ も候補に含め，傾きが最小の接点を選ぶ。第(2)問は $α = 2$ を代入して接線と曲線の差を因数分解し，定積分で面積を求める。

解答

(1)

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ である。 $x = t$ における接線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $g (t)$ とすると， $t \neq = \pm 1$ では

g (t) = t - \frac{f ( t )}{f ^{'} ( t )} = t - \frac{( t - 1 ) ^{2} ( t + 2 )}{3 ( t - 1 ) ( t + 1 )} = \frac{2 ( t ^{2} + t + 1 )}{3 ( t + 1 )}

である。したがって $Q$ の $x$ 座標は $g (α)$ である。

$Q$ を通る接線の接点を $x = t$ とすると， $g (t) = g (α)$ を満たす。これは

\frac{t ^{2} + t + 1}{t + 1} = \frac{α ^{2} + α + 1}{α + 1}

であり，整理すると $t = α$ または $(t + 1) (α + 1) = 1$ である。よってもう一つの接点は

t = - \frac{α}{α + 1}

である。また $x = 1$ における接線は $y = 0$ であり，これも $Q$ を通る。

各接線の傾きは $f^{'} (t) = 3 t^{2} - 3$ である。 $α > 1$ だから $f^{'} (α) > 0$ ， $x = 1$ の接線の傾きは $0$ である。一方， $- 1 < - α / (α + 1) < 0$ より，この接点での傾きは負である。したがって傾きが最小の接線 $l$ の接点の $x$ 座標は

- \frac{α}{α + 1}

である。

(2)

$α = 2$ のとき，(1)より $l$ の接点は $x = - 2/3$ である。傾きは $f^{'} (- 2/3) = - 5/3$ ，また $f (- 2/3) = 100/27$ であるから， $l$ の方程式は

y - \frac{100}{27} = - \frac{5}{3} (x + \frac{2}{3})

すなわち $y = (- 45 x + 70) /27$ である。

曲線と直線の差をとると

f (x) - \frac{- 45 x + 70}{27} = x^{3} - \frac{4}{3} x - \frac{16}{27} = (x + \frac{2}{3})^{2} (x - \frac{4}{3})

である。よって囲まれた部分は $- 2/3 ≦ x ≦ 4/3$ にあり，この区間では直線が曲線の上にある。したがって面積は

\int_{- 2/3}^{4/3} (x + \frac{2}{3})^{2} (\frac{4}{3} - x) d x

である。 $u = x + 2/3$ とおくと，これは

\int_{0}^{2} u^{2} (2 - u) d u = [\frac{2 u ^{3}}{3} - \frac{u ^{4}}{4}]_{0}^{2} = \frac{4}{3}

である。

一橋大学 2019年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

一橋大学 2019年度
文系数学第3問