一橋大学 2019年度文系数学第1問解答・解説

問題

$p$ を自然数とする．数列 ${a_{n}}$ を

a_{1} = 1 ， a_{2} = p^{2} ， a_{n + 2} = a_{n + 1} - a_{n} + 13 (n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots)

により定める．数列 ${a_{n}}$ に平方数でない項が存在することを示せ．

出典：一橋大学 2019年度前期文系第1問

方針

定数解 $13$ を引いて $b_{n} = a_{n} - 13$ とおくと， $b_{n + 2} = b_{n + 1} - b_{n}$ となり，6周期が現れる。実際に $a_{1}$ から $a_{6}$ までを $p$ で表す。もし全項が平方数なら，特に $p^{2} + 12$ が平方数であることから $p$ を絞り，残りの項で矛盾を出す。

解答

$b_{n} = a_{n} - 13$ とおくと，

b_{n + 2} = b_{n + 1} - b_{n}

である。よって $b_{n + 3} = - b_{n}$ ，さらに $b_{n + 6} = b_{n}$ となるから， $a_{n}$ も6周期である。初めの6項を計算すると

a_{1} = 1, a_{2} = p^{2}, a_{3} = p^{2} + 12, a_{4} = 25, a_{5} = 26 - p^{2}, a_{6} = 14 - p^{2}

である。

もし平方数でない項が存在しないと仮定すると，特に $a_{3} = p^{2} + 12$ は平方数である。そこで $p^{2} + 12 = q^{2}$ となる自然数 $q$ がある。 $q > p$ であり，

(q - p) (q + p) = 12

である。二つの因数は同じ偶奇であるから，可能なのは $(q - p, q + p) = (2, 6)$ だけである。したがって $p = 2$ である。

しかし $p = 2$ のとき $a_{5} = 26 - 4 = 22$ であり，これは平方数ではない。これは仮定に反する。よって数列 ${a_{n}}$ には平方数でない項が存在する。

一橋大学 2019年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

一橋大学 2019年度
文系数学第1問