一橋大学 2019年度文系数学第2問解答・解説

問題

原点を $O$ とする座標平面上の点 $Q$ は円 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上の $x ≧ 0$ かつ $y ≧ 0$ の部分を動く．点 $Q$ と点 $A (2, 2)$ に対して

O P = (O A \cdot O Q) O Q

を満たす点 $P$ の軌跡を求め，図示せよ．

出典：一橋大学 2019年度前期文系第2問

方針

$Q = (cos θ, sin θ)$ ， $0 ≦ θ ≦ π /2$ とおく。与式から $P$ の座標を求め，極座標で $O P = 2 (cos θ + sin θ)$ と見る。 $P = (X, Y)$ として $X^{2} + Y^{2} = 2 X + 2 Y$ を導き，動く弧の範囲を端点と通過点で指定する。

解答

$Q = (cos θ, sin θ)$ ， $0 ≦ θ ≦ π /2$ とおく。 $A = (2, 2)$ であるから

O A \cdot O Q = 2 cos θ + 2 sin θ

である。したがって $P = (X, Y)$ とすると

X = 2 (cos θ + sin θ) cos θ, Y = 2 (cos θ + sin θ) sin θ

である。

このとき $P$ の偏角は $θ$ であり， $O P = 2 (cos θ + sin θ)$ である。よって $X = O P cos θ$ ， $Y = O P sin θ$ を用いると

X^{2} + Y^{2} = O P^{2} = 2 X + 2 Y

となる。すなわち

(X - 1)^{2} + (Y - 1)^{2} = 2

である。

また $0 ≦ θ ≦ π /2$ より $X ≧ 0$ ， $Y ≧ 0$ であり， $O P = 2 (cos θ + sin θ)$ だから原点側の弧ではなく，点 $(2, 0)$ ， $(2, 2)$ ， $(0, 2)$ を通る弧である。したがって軌跡は，円

(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 2

のうち，第一象限にあり $x + y ≧ 2$ を満たす弧である。図示すると，中心 $(1, 1)$ ，半径 $2$ の円の， $(2, 0)$ から $(0, 2)$ までを $(2, 2)$ 側に通る弧である。

一橋大学 2019年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

一橋大学 2019年度
文系数学第2問