問題
原点をとする座標平面上に，点を中心とする半径の円と，点を中心とする半径の円がある．点を中心とする円はに内接し，かつに外接する．ただし，は軸上にないものとする．を通り軸に垂直な直線と軸の交点をとするとき，三角形の面積の最大値を求めよ．
出典：一橋大学 2019年度 前期 文系 第4問
方針
，円 の半径を とおく。内接・外接条件から， から ， までの距離の和が になることを導く。これにより は楕円上を動く。楕円の方程式から を で表し，三角形 の面積 を最大化する。
解答
とし，円 の半径を とする。 が に内接するから
である。また が に外接するから
である。これらを加えると
となる。したがって は焦点 ，長軸の長さ の楕円上にある。
この楕円の中心は ，長半径は ，焦点距離は であるから，短半径の2乗は である。よって楕円の方程式は
である。これを整理すると
であり， である。
三角形 の面積を とすると， だから である。よって
を最大にすればよい。 とおくと
であるから， で最大となるのは のときである。
このとき である。したがって最大面積は
である。