一橋大学 2018年度文系数学第5問解答・解説

問題

$a$ を実数とし， $f (x) = x - x^{3} ， g (x) = a (x - x^{2})$ とする． $2$ つの曲線 $y = f (x) ， y = g (x)$ は $0 < x < 1$ の範囲に共有点を持つ．(1)　 $a$ のとりうる値の範囲を求めよ．(2)　 $y = f (x)$ と $y = g (x)$ で囲まれた $2$ つの部分の面積が等しくなるような $a$ の値を求めよ．

出典：一橋大学 2018年度前期文系第5問

方針

まず $f (x) - g (x)$ を因数分解して， $0 < x < 1$ に共有点をもつ条件を $a - 1$ の位置で判定する。2つの部分の面積が等しい条件は，符号が変わる点 $x = a - 1$ を挟んだ正負の面積が等しいことなので， $\int_{0}^{1} {f (x) - g (x)} d x = 0$ として処理する。

解答

(1)

f (x) - g (x) = x - x^{3} - a (x - x^{2}) = x (1 - x) (x + 1 - a)

である。 $0 < x < 1$ では $x (1 - x) > 0$ だから，この範囲に共有点をもつための条件は

x + 1 - a = 0

の解 $x = a - 1$ が $0 < x < 1$ に入ることである。したがって

0 < a - 1 < 1

より， $1 < a < 2$ である。

(2)

(1)の条件のもとで， $0 < x < a - 1$ では $f (x) - g (x) < 0$ ， $a - 1 < x < 1$ では $f (x) - g (x) > 0$ である。2つの部分の面積が等しいことは，正負を含めた全体の積分が $0$ であることと同値である。よって

\int_{0}^{1} {f (x) - g (x)} d x = 0

を解けばよい。

ここで

\int_{0}^{1} x (1 - x) (x + 1 - a) d x = \int_{0}^{1} (x^{2} - x^{3}) d x + (1 - a) \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x

であるから

\int_{0}^{1} {f (x) - g (x)} d x = (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (1 - a) (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \frac{3 - 2 a}{12}

となる。これが $0$ となるので， $a = \frac{3}{2}$ である。この値は $1 < a < 2$ を満たす。よって求める値は $\frac{3}{2}$ である。

一橋大学 2018年度文系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

一橋大学 2018年度
文系数学第5問