一橋大学 2018年度文系数学第4問解答・解説

問題

$p ， q$ を正の実数とする．原点を $O$ とする座標空間内の $3$ 点 $P (p, 0, 0) ， Q (0, q, 0) ， R (0, 0, 1)$ は $∠ P R Q = \frac{π}{6}$ を満たす．四面体 $O P QR$ の体積の最大値を求めよ．

出典：一橋大学 2018年度前期文系第4問

方針

角条件を $R P \cdot R Q$ で表し， $(p^{2} + 1) (q^{2} + 1) = \frac{4}{3}$ を得る。体積は $\frac{1}{6} pq$ なので， $u = pq$ の最大化に帰着する。条件式を $p^{2} + q^{2} + u^{2} = \frac{1}{3}$ と直し， $p^{2} + q^{2} ≧ 2 pq$ から $u$ の上限を出す。

解答

$R P = (p, 0, - 1)$ ， $R Q = (0, q, - 1)$ である。したがって

R P \cdot R Q = 1

であり， $∠ P R Q = \frac{π}{6}$ より

1 = p^{2} + 1 q^{2} + 1 \cdot \frac{3}{2}

を得る。よって

(p^{2} + 1) (q^{2} + 1) = \frac{4}{3}

である。これを展開すると

p^{2} q^{2} + p^{2} + q^{2} = \frac{1}{3}

となる。

四面体 $O P QR$ の体積を $V$ とすると， $O P, O Q, O R$ が座標軸方向にあるので

V = \frac{1}{6} pq

である。そこで $u = pq$ とおく。 $(p - q)^{2} ≧ 0$ より $p^{2} + q^{2} ≧ 2 pq = 2 u$ だから，条件式から

u^{2} + 2 u ≦ \frac{1}{3}

である。すなわち

u^{2} + 2 u - \frac{1}{3} ≦ 0

である。 $u > 0$ なので

0 < u ≦ \frac{2}{3} - 1

となる。等号は $p = q$ のときに成り立ち，このとき条件式も満たせる。したがって

V ≦ \frac{1}{6} (\frac{2}{3} - 1) = \frac{2 3 - 3}{18}

である。よって最大値は $\frac{2 3 - 3}{18}$ である。

一橋大学 2018年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

一橋大学 2018年度
文系数学第4問