一橋大学 2018年度文系数学第2問解答・解説

問題

$- 1 ≦ t ≦ 1$ とし，曲線 $y = \frac{x ^{2} - 1}{2}$ 上の点 $(t, \frac{t ^{2} - 1}{2})$ における接線を $l$ とする．半円 $x^{2} + y^{2} = 1 （ y ≦ 0 ）$ と $l$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする． $S$ のとりうる値の範囲を求めよ．

出典：一橋大学 2018年度前期文系第2問

方針

接線の方程式を求め，原点からその直線までの距離 $d$ を $t$ で表す。半径1の円の弦が中心から距離 $d$ にあるとき，対応する中心角を $2 θ$ とすれば $cos θ = d$ であり，囲まれる部分の面積は円弧の扇形から三角形を引いて $S = θ - \frac{1}{2} sin 2 θ$ と表せる。あとは $- 1 ≦ t ≦ 1$ から $θ$ の範囲を決める。

解答

曲線 $y = \frac{x ^{2} - 1}{2}$ の導関数は $y^{'} = x$ であるから，点 $(t, \frac{t ^{2} - 1}{2})$ における接線 $l$ は

y - \frac{t ^{2} - 1}{2} = t (x - t)

すなわち

t x - y - \frac{t ^{2} + 1}{2} = 0

である。原点からこの直線までの距離を $d$ とすると

d = \frac{( t ^{2} + 1 ) /2}{t ^{2} + 1} = \frac{t ^{2} + 1}{2}

である。 $- 1 ≦ t ≦ 1$ より

\frac{1}{2} ≦ d ≦ \frac{2}{2}

となる。

直線 $l$ と半円との交点を結ぶ弦に対し，原点から弦への垂線と半径のなす角を $θ$ とする。このとき $cos θ = d$ であり， $d$ の範囲から

\frac{π}{4} ≦ θ ≦ \frac{π}{3}

である。弦と半円で囲まれる部分の面積は，中心角 $2 θ$ の扇形の面積から二等辺三角形の面積を引いて

S = θ - \frac{1}{2} sin 2 θ

と表される。関数 $F (θ) = θ - \frac{1}{2} sin 2 θ$ とおくと，

F^{'} (θ) = 1 - cos 2 θ = 2 sin^{2} θ ≧ 0

であり，この範囲で単調増加である。したがって

F (\frac{π}{4}) ≦ S ≦ F (\frac{π}{3})

となる。よって

\frac{π}{4} - \frac{1}{2} ≦ S ≦ \frac{π}{3} - \frac{3}{4}

である。

一橋大学 2018年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

一橋大学 2018年度
文系数学第2問