問題
個のさいころを投げる．(1) 出た目の積がとなる確率を求めよ．(2) 出た目の積がとなる確率がであるようなをすべて求めよ．
出典：一橋大学 2018年度 前期 文系 第3問
方針
3個のさいころは順序つきで 通りと見る。積ごとの出方は，まず順序を無視した3つの目の組に分け，同じ数を含むかどうかで順序の数を 通りに分けて数える。(2)では順序つきの出方が 通りになる積を探す。
解答
(1)
積が になる目の組を順序を無視して書くと， と である。前者は順序を入れて 通り，後者は 通りであるから，全部で 通りである。したがって求める確率は
である。
(2)
確率が であることは，順序つきの出方が 通りであることと同値である。順序を無視した3つの目の組 を として考える。同じ積を与える組が1つだけで，しかも3つの目がすべて異なれば順序は 通りである。また，同じ積を与える組が2つあり，どちらも1組だけ同じ目を含む場合も 通りになる。
まず1組だけ同じ目を含む2つの表し方から出るものは
であり， を得る。
次に3つの目がすべて異なる場合を調べる。目に を含まないとき， から3つを選ぶ。相異なる3つの選び方は次の通りであり，いずれも同じ積を与える別の組をもつ。
したがって，目に を含まない相異なる3つの目からは，順序つきの出方がちょうど 通りになる積は出ない。
目に を1つ含むとき，残り2つは から異なる2つを選ぶ。2数の積がただ1通りに決まる組は
である。したがって対応する積は
であり， である。なお を2つ以上含む場合は順序の数が 通りまたは 通りにしかならない。
以上より求める は
である。