一橋大学 2018年度文系数学第1問解答・解説

問題

正の整数 $n$ の各位の数の和を $S (n)$ で表す．たとえば

S (3) = 3 ， S (10) = 1 + 0 = 1 ， S (516) = 5 + 1 + 6 = 12

である．(1)　 $n ≧ 10000$ のとき，不等式 $n > 30 S (n) + 2018$ を示せ．(2)　 $n = 30 S (n) + 2018$ を満たす $n$ を求めよ．

出典：一橋大学 2018年度前期文系第1問

方針

$n ≧ 10000$ では桁数から各位の和を上から評価し， $30 S (n) + 2018$ が $n$ より十分小さいことを示す。等式を満たす $n$ は(1)から $10000$ 未満に限られ，さらに一の位が $8$ であることを使って $n = 1000 a + 100 b + 10 c + 8$ とおき， $a, b, c$ の範囲を絞る。

解答

(1)

$n$ が $k + 1$ 桁の整数であるとする。 $n ≧ 10000$ より $k ≧ 4$ であり， $1 0^{k} ≦ n < 1 0^{k + 1}$ である。このとき各位の和は高々 $9 (k + 1)$ だから， $S (n) ≦ 9 (k + 1)$ である。

ここで $h (k) = 1 0^{k} - {270 (k + 1) + 2018}$ とおくと， $h (4) = 10000 - 3368 > 0$ であり， $k ≧ 4$ では

h (k + 1) - h (k) = 9 \cdot 1 0^{k} - 270 > 0

である。したがって $1 0^{k} > 270 (k + 1) + 2018$ が成り立つ。ゆえに

n ≧ 1 0^{k} > 30 \cdot 9 (k + 1) + 2018 ≧ 30 S (n) + 2018

となり，求める不等式が示された。

(2)

(1)より，等式 $n = 30 S (n) + 2018$ を満たす $n$ は $n < 10000$ でなければならない。また右辺は $10$ で割ると $8$ 余るので， $n$ の一の位は $8$ である。そこで $0 ≦ a, b, c ≦ 9$ を用いて

n = 1000 a + 100 b + 10 c + 8

と表す。このとき $S (n) = a + b + c + 8$ だから，等式に代入して

1000 a + 100 b + 10 c + 8 = 30 (a + b + c + 8) + 2018

を得る。整理すると

7 b - 2 c = 225 - 97 a

である。左辺は $- 18 ≦ 7 b - 2 c ≦ 63$ を満たすので， $- 18 ≦ 225 - 97 a ≦ 63$ となり， $a = 2$ に限られる。したがって $7 b - 2 c = 31$ であり， $0 ≦ b, c ≦ 9$ の範囲で解くと $(b, c) = (5, 2), (7, 9)$ である。

よって求める整数は $2528, 2798$ である。

一橋大学 2018年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

一橋大学 2018年度
文系数学第1問