横浜国立大学 2019年度理系数学第5問解答・解説

問題

2つの関数

f (x) = e^{- x} sin x (0 ≦ x ≦ 2 π), g (x) = - e^{- x} (0 ≦ x ≦ 2 π)

について，次の問いに答えよ。

(1) $f (x)$ が最小値をとるときの $x$ の値を求めよ。

(2) $f (x) = g (x)$ を満たす $x$ の値を求めよ。

(3) 2曲線 $C_{1} : y = f (x), C_{2} : y = g (x)$ と $y$ 軸で囲まれる部分を， $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ。

出典：横浜国立大学 2019年度前期理系第5問

方針

(1) は $f^{'} (x) = e^{- x} (cos x - sin x)$ の符号と端点値を調べる。(2) は $e^{- x} > 0$ を消して $sin x = - 1$ とする。(3) は囲まれる範囲が $0 ≦ x ≦ 3 π /2$ であることを確認し， $0 ≦ x ≦ π$ では円板， $π ≦ x ≦ 3 π /2$ では中抜きの断面として体積を積分する。

解答

(1)

f^{'} (x) = e^{- x} cos x - e^{- x} sin x = e^{- x} (cos x - sin x)

である。 $0 ≦ x ≦ 2 π$ で $cos x = sin x$ となるのは

x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}

である。端点とこれらの点での値を比べると

f (0) = 0, f (2 π) = 0,

f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2} e^{- π /4}, f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{2}{2} e^{- 5 π /4}

であるから，最小値をとるのは

x = \frac{5 π}{4}

である。

(2)

e^{- x} sin x = - e^{- x}

であり， $e^{- x} > 0$ だから

sin x = - 1

である。 $0 ≦ x ≦ 2 π$ より

x = \frac{3 π}{2}

である。

(3)

(2)より，2曲線と $y$ 軸で囲まれる部分は $0 ≦ x ≦ \frac{3 π}{2}$ にある。この範囲で $f (x) ≧ g (x)$ である。

$0 ≦ x ≦ π$ では領域が $x$ 軸をまたぐので，回転後の断面は半径 $e^{- x}$ の円である。 $π ≦ x ≦ \frac{3 π}{2}$ では両曲線が $x$ 軸の下側にあり，断面積は

π {e^{- 2 x} - e^{- 2 x} sin^{2} x} = π e^{- 2 x} cos^{2} x

である。したがって

V = π \int_{0}^{π} e^{- 2 x} d x + π \int_{π}^{3 π /2} e^{- 2 x} cos^{2} x d x .

ここで

\int_{0}^{π} e^{- 2 x} d x = \frac{1 - e ^{- 2 π}}{2}

であり， $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ を用いると

\int_{π}^{3 π /2} e^{- 2 x} cos^{2} x d x = \frac{3 e ^{- 2 π} - e ^{- 3 π}}{8}

である。よって

V = \frac{π}{8} (4 - e^{- 2 π} - e^{- 3 π})

である。

横浜国立大学 2019年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2019年度
理系数学第5問