横浜国立大学 2019年度理系数学第4問解答・解説

問題

$O$ を原点とする $x y$ 平面上に2点 $A (2, 0), B (0, 2)$ がある。2点 $P, Q$ は条件(＊)をみたしながら動く。

(＊) ⎩ ⎨ ⎧ P は線分 O A 上にある。 Q は線分 O B 上にある。 △ O P Q の面積は 1 である。

点 $P$ の座標を $(t, 0)$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $t$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) $t$ が(1)で求めた範囲を動くとき，線分 $P Q$ が通過する領域を $x y$ 平面上に図示せよ。

(3) (2)で求めた領域の面積 $S$ を求めよ。

出典：横浜国立大学 2019年度前期理系第4問

方針

$Q = (0, u)$ とおくと，面積条件から $t u = 2$ であり，制約から $1 ≦ t ≦ 2$ となる。線分 $P Q$ の方程式を $x / t + y t /2 = 1$ と書き，固定した $x$ に対して $y = 2 (t - x) / t^{2}$ がとる範囲を調べる。上側境界は包絡線 $y = 1/ (2 x)$ と端の線分，下側境界は端の線分と $x$ 軸になる。最後は区間を分けて面積を積分する。

解答

(1)

$Q = (0, u)$ とおく。 $P = (t, 0)$ , $Q = (0, u)$ で $△ O P Q$ の面積が1であるから

\frac{1}{2} t u = 1

すなわち

u = \frac{2}{t}

である。 $P$ は線分 $O A$ 上， $Q$ は線分 $O B$ 上にあるので

0 ≦ t ≦ 2, 0 ≦ u ≦ 2

である。 $u = 2/ t$ より $t ≧ 1$ だから

1 ≦ t ≦ 2

である。

(2)

$1 ≦ t ≦ 2$ に対して，線分 $P Q$ は

\frac{x}{t} + \frac{y}{2/ t} = 1

すなわち

y = \frac{2 ( t - x )}{t ^{2}} (0 ≦ x ≦ t)

で表される。固定した $x$ に対し，この右辺を $t$ の関数と見ると，最大は $t = 2 x$ が範囲に入るとき包絡線

y = \frac{1}{2 x}

で与えられる。端の線分は $t = 1$ のとき

y = 2 - 2 x (0 ≦ x ≦ 1)

であり， $t = 2$ のとき

y = 1 - \frac{x}{2} (0 ≦ x ≦ 2)

である。

したがって通過領域は次の範囲である。

0 ≦ x ≦ \frac{1}{2} : 1 - \frac{x}{2} ≦ y ≦ 2 - 2 x,

\frac{1}{2} ≦ x ≦ \frac{2}{3} : 1 - \frac{x}{2} ≦ y ≦ \frac{1}{2 x},

\frac{2}{3} ≦ x ≦ 1 : 2 - 2 x ≦ y ≦ \frac{1}{2 x},

1 ≦ x ≦ 2 : 0 ≦ y ≦ 1 - \frac{x}{2} .

% 図は省略

(3)

(2)の範囲から面積は

S = \int_{0}^{1/2} {(2 - 2 x) - (1 - \frac{x}{2})} d x

+ \int_{1/2}^{2/3} {\frac{1}{2 x} - (1 - \frac{x}{2})} d x + \int_{2/3}^{1} {\frac{1}{2 x} - (2 - 2 x)} d x

+ \int_{1}^{2} (1 - \frac{x}{2}) d x

である。これを計算して

S = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} lo g 2

を得る。

横浜国立大学 2019年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2019年度
理系数学第4問