横浜国立大学 2019年度理系数学第3問解答・解説

問題

$n$ を3以上の整数とする。1個のさいころを $n$ 回投げたときに，出た目を大きい順に並べたものを

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (X_{1} ≧ X_{2} ≧ \dots ≧ X_{n})

とする。たとえば，1個のさいころを5回投げて，出た目が順に $4, 5, 3, 4, 2$ であったとすると，

X_{1} = 5, X_{2} = 4, X_{3} = 4, X_{4} = 3, X_{5} = 2

となる。1個のさいころを $n$ 回投げたとき，次の事象が起こる確率をそれぞれ求めよ。

(1) $X_{n} = 2$

(2) $X_{2} = 6$

(3) $X_{2} = 6$ かつ $X_{n} = 2$

出典：横浜国立大学 2019年度前期理系第3問

出目列は順序つきで $6^{n}$ 通りとする。(1) は最小値が2，すなわち全て2以上かつ少なくとも1回は2。(2) は6が少なくとも2回出ること。(3) は全て2以上，少なくとも1回は2，かつ6が少なくとも2回出ることを，まず2以上の5種類で数え，そこから2が出ない場合を引く。

$X_{n} = 2$ は，すべての出目が2以上で，かつ少なくとも1回は2が出ることと同値である。したがって有利な出方は

5^{n} - 4^{n}

通りであり，確率は

\frac{5 ^{n} - 4 ^{n}}{6 ^{n}}

である。

$X_{2} = 6$ は，6の出る回数が2回以上であることと同値である。余事象を用いると，有利な出方は

6^{n} - 5^{n} - n 5^{n - 1}

通りである。よって確率は

\frac{6 ^{n} - 5 ^{n} - n 5 ^{n - 1}}{6 ^{n}}

である。

まず，すべての出目が2以上で，かつ6が2回以上出る出方を数える。これは

5^{n} - 4^{n} - n 4^{n - 1}

通りである。このうち2が一度も出ないもの，すなわち出目が3以上で，かつ6が2回以上出るものは

4^{n} - 3^{n} - n 3^{n - 1}

通りである。したがって有利な出方は

5^{n} - 4^{n} - n 4^{n - 1} - (4^{n} - 3^{n} - n 3^{n - 1})

= 5^{n} - 2 \cdot 4^{n} + 3^{n} - n 4^{n - 1} + n 3^{n - 1}

通りである。よって確率は

\frac{5 ^{n} - 2 \cdot 4 ^{n} + 3 ^{n} - n 4 ^{n - 1} + n 3 ^{n - 1}}{6 ^{n}}

である。