横浜国立大学 2019年度理系数学第1問解答・解説

問題

三角形 $O A B$ があり，各辺の長さは $O A = 1, O B = 3, A B = 2$ である。自然数 $n$ に対し，

A P_{k} = \frac{k}{n} A B (k = 1, 2, \dots, n)

となるような点 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}$ を辺 $A B$ 上にとる。次の問いに答えよ。

(1) 線分 $O P_{k} (k = 1, 2, \dots, n)$ の長さを求めよ。

(2) 極限値 $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{( O P _{k} ) ^{2}}$ を求めよ。

出典：横浜国立大学 2019年度前期理系第1問

方針

$O A^{2} + O B^{2} = A B^{2}$ から $∠ A O B = 9 0^{\circ}$ と分かるので，座標を置く。 $P_{k}$ を $A$ から $B$ へ $k / n$ だけ進んだ点として表し， $O P_{k}^{2}$ を得る。(2) は $k / n$ を変数とする区分求積法で定積分に直す。

解答

(1)

O A^{2} + O B^{2} = 1 + 3 = 4 = A B^{2}

であるから， $∠ A O B = 9 0^{\circ}$ である。座標を

O = (0, 0), A = (1, 0), B = (0, 3)

とおく。 $t = \frac{k}{n}$ とすると， $P_{k}$ は $A$ から $B$ へ $t$ だけ進んだ点なので

P_{k} = (1 - t, 3 t)

である。したがって

(O P_{k})^{2} = (1 - t)^{2} + 3 t^{2} = 4 t^{2} - 2 t + 1

より

O P_{k} = 4 (\frac{k}{n})^{2} - 2 \frac{k}{n} + 1

である。

(2)

(1)より

\frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{1}{( O P _{k} ) ^{2}} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{1}{4 ( k / n ) ^{2} - 2 ( k / n ) + 1}

である。これは区間 $[0, 1]$ の区分求積であるから，極限値は

\int_{0}^{1} \frac{d x}{4 x ^{2} - 2 x + 1}

である。ここで

4 x^{2} - 2 x + 1 = \frac{( 4 x - 1 ) ^{2} + 3}{4}

なので

\int_{0}^{1} \frac{d x}{4 x ^{2} - 2 x + 1} = \int_{0}^{1} \frac{4 d x}{( 4 x - 1 ) ^{2} + 3} = \frac{1}{3} [tan^{- 1} \frac{4 x - 1}{3}]_{0}^{1} .

したがって

\frac{1}{3} (\frac{π}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{π}{2 3}

である。

横浜国立大学 2019年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

横浜国立大学 2019年度
理系数学第1問