横浜国立大学 2016年度理系数学第5問解答・解説

問題

$x y$ 平面上に楕円 $C : \frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ がある．次の問いに答えよ．

(1)　点 $P (a, b)$ を通る $C$ の接線が2本あり，それらが直交するとき， $a, b$ がみたす条件を求めよ．

(2)　 $C$ に外接する長方形のうち， $x$ 座標が $1$ で $y$ 座標が正である頂点をもつものの面積を求めよ．

出典：横浜国立大学 2016年度前期理系第5問

方針

(1) 点 $P (a, b)$ を通る傾き $m$ の直線を楕円に接する条件に代入し，接線の傾きが満たす二次方程式を作る。2本の接線が直交する条件は傾きの積が $- 1$ である。(2) は (1) から指定された頂点を $(1, 2)$ と決め，その点を通る2接線の傾きから，向かい合う平行接線間の距離を掛けて面積を求める。

解答

(1)

点 $P (a, b)$ を通る傾き $m$ の直線を

y - b = m (x - a)

とする。これを $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ に代入して，接する条件を判別式 $0$ で表すと

(a^{2} - 4) m^{2} - 2 abm + (b^{2} - 1) = 0

を得る。2本の接線がともに縦でないとき，その傾きを $m_{1}, m_{2}$ とすると，直交条件は $m_{1} m_{2} = - 1$ である。したがって

\frac{b ^{2} - 1}{a ^{2} - 4} = - 1

より

a^{2} + b^{2} = 5

である。縦の接線を含む場合は $x = \pm 2$ と水平な接線 $y = \pm 1$ の組になり，この場合も $a^{2} + b^{2} = 5$ をみたす。逆に $a^{2} + b^{2} = 5$ なら点 $P$ は楕円の外部にあり，直交する2本の接線をもつ。よって条件は

a^{2} + b^{2} = 5

である。

(2)

指定された頂点を $(1, β) (β > 0)$ とすると，(1) より

1 + β^{2} = 5

だから $β = 2$ である。すなわち頂点は $(1, 2)$ である。この点を通る2本の接線の傾きは，(1) の式に $a = 1, b = 2$ を代入して

3 m^{2} + 4 m - 3 = 0

の2根 $m_{1}, m_{2}$ である。これらは $m_{1} m_{2} = - 1$ をみたす。

傾き $m$ の楕円の接線は $y = m x \pm 4 m^{2} + 1$ と表されるので，この2本の平行接線間の距離は

\frac{2 4 m ^{2} + 1}{m ^{2} + 1}

である。したがって長方形の面積は

\frac{2 4 m _{1}^{2} + 1}{m _{1}^{2} + 1} \cdot \frac{2 4 m _{2}^{2} + 1}{m _{2}^{2} + 1}

である。 $r = m_{1}^{2}$ とおくと $m_{2}^{2} = 1/ r$ であり， $m_{1} + m_{2} = - \frac{4}{3}$ ， $m_{1} m_{2} = - 1$ より

r + \frac{1}{r} = \frac{34}{9}

である。よって面積は

4 \frac{( 4 r + 1 ) ( r + 4 )}{( r + 1 ) ^{2}} = 4 \frac{4 ( r + \frac{1}{r} ) + 17}{r + \frac{1}{r} + 2} = 4 \frac{289}{52} = \frac{34 13}{13}

である。

横浜国立大学 2016年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

横浜国立大学 2016年度
理系数学第5問