横浜国立大学 2016年度理系数学第4問解答・解説

問題

$a$ を正の定数とする．2つの曲線 $C_{1} : y = x lo g x$ と $C_{2} : y = a x^{2}$ の両方に接する直線の本数を求めよ．ただし， $lim_{x \to \infty} \frac{( lo g x ) ^{2}}{x} = 0$ は証明なしに用いてよい．

出典：横浜国立大学 2016年度前期理系第4問

方針

$C_{1}$ の接点を $t > 0$ ， $C_{2}$ の接点を $s$ として，共通接線の傾きと切片を一致させる。 $u = a s$ とおくと，解の個数は $2 lo g ∣ u ∣ - 2 u + 1 = lo g a$ の解の個数になるので， $u < 0$ と $u > 0$ に分けて増減を調べる。

解答

$C_{1}$ 上の $x = t (t > 0)$ における接線は

y = (lo g t + 1) x - t

である。また， $C_{2}$ 上の $x = s$ における接線は

y = 2 a s x - a s^{2}

である。両者が一致する条件は

lo g t + 1 = 2 a s, t = a s^{2}

である。 $u = a s$ とおくと $t = u^{2} / a$ であり，条件は

lo g \frac{u ^{2}}{a} + 1 = 2 u

すなわち

2 lo g ∣ u ∣ - 2 u + 1 = lo g a (u \neq = 0)

となる。

$ϕ (u) = 2 lo g ∣ u ∣ - 2 u + 1$ とおく。 $u < 0$ では

ϕ^{'} (u) = \frac{2}{u} - 2 < 0

であり， $u \to - \infty$ で $ϕ (u) \to \infty$ ， $u \to 0 - 0$ で $ϕ (u) \to - \infty$ である。したがって負の解は常に1個ある。

次に $u > 0$ では $ϕ^{'} (u) = \frac{2}{u} - 2$ であるから， $0 < u < 1$ で増加し， $u > 1$ で減少する。最大値は

ϕ (1) = - 1

である。また $u o 0 + 0$ と $u \to \infty$ のどちらでも $ϕ (u) \to - \infty$ である。よって正の解は， $lo g a < - 1$ のとき2個， $lo g a = - 1$ のとき1個， $lo g a > - 1$ のとき0個である。

以上より，共通接線の本数は

⎩ ⎨ ⎧ 321 (0 < a < e^{- 1}), (a = e^{- 1}), (a > e^{- 1})

である。

横浜国立大学 2016年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

横浜国立大学 2016年度
理系数学第4問